Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $S_1$ y $S_2$ dos circunferencias de centros $O_1$ y $O_2$, respectivamente, secantes en $M$ y $N$. La recta $t$ es la tangente común a $S_1$ y $S_2$ más cercana a $M$. Los puntos $A$ y $B$ son los respectivos puntos de contacto de $t$ con $S_1$ y $S_2$, $C$ es el punto diametralmente opuesto a $B$ y $D$ el punto de intersección de la recta $O_1O_2$ con la recta perpendicular a la recta $AM$ trazada por $B$. Demostrar que $M,D,C$ están alineados.

Sean $A$ y $B$ puntos del plano y $C$ un punto de la mediatriz de $AB$. Se construye una sucesión de puntos $\{C_1,C_2,\ldots,C_n,\ldots\}$ como $C_1 = C$ y, para $n\geq 1$, si $C_n$ no pertenece al segmento $AB$, $C_{n+1}$ es el circuncentro del triángulo $ABC_n$. Determinar todos los puntos $C$ tales que la sucesión está definida para todo $n$ y es periódica a partir de un cierto punto.

Dadas dos circunferencias $M$ y $N$, decimos que $M$ biseca a $N$ si la cuerda común es un diámetro de $N$. Considérense dos circunferencias fijas $C_1$ y $C_2$ no concéntricas.

1. Probar que existen infinitas circunferencias $B$ tales que $B$ biseca tanto a $C_1$ como a $C_2$
2. Determinar el lugar geométrico de los centros de las circunferencias $B$.

La circunferencia inscrita de un triángulo $ABC$ es tangente a los lados $BC$, $CA$ y $AB$ en los puntos $D$, $E$ y $F$, respectivamente. $AD$ corta la circunferencia en un segundo punto $Q$. Demostrar que la recta $EQ$ pasa por el punto medio de $AF$ si y solamente si $AC = BC$.

La figura se compone de seis pentágonos regulares de lado 1. Se dobla por las líneas de puntos hasta que coincidan las aristas no punteadas que confluyen en cada vértice. ¿Qué volumen de agua cabe en el recipiente formado?