Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

En un triángulo acutángulo $ABC$, sean $AE$ y $BF$ dos alturas y sea $H$ el ortocentro. La recta simétrica de $AE$ respecto de la bisectriz interior del ángulo $A$ y la recta simétrica de $BF$ respecto de la bisectriz interior del ángulo $B$ se cortan en un punto $O$. Las rectas $AE$ y $AO$ cortan por segunda vez a la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$ en los puntos $M$ y $N$, respectivamente. Sea $P$ la intersección de $BC$ con $HN$, $R$ la intersección de $BC$ con $OM$ y $S$ la intersección de $HR$ con $OP$. Demostrar que $AHSO$ es un paralelogramo.

Con centro en el incentro $I$ de un triángulo $ABC$ se traza una circunferencia que corta en dos puntos a cada uno de los tres lados del triángulo: al segmento $BC$ en $D$ y $P$ (siendo $D$ el más cercano a B) ; al segmento $CA$ en $E$ y $Q$ (siendo $E$ el más cercano a $C$); y al segmento $AB$ en $F$ y $R$ (siendo $F$ el más cercano a $A$). Sea $S$ el punto de intersección de las diagonales del cuadrilátero $EQFR$. Sea $T$ el punto de intersección del cuadrilátero $FRDP$. Sea $U$ el punto de intersección de las diagonales del cuadrilátero $DPEQ$. Demostrar que las circunferencias circunscritas a los triángulos $FRT$ , $DPU$ y $EQS$ tienen un único punto común.

Se tienen $n$ puntos distintos $A_1,A_2,\ldots,A_n$ en el plano y a cada punto $A_i$ se le ha asignado un número real $\lambda_i$ distinto de cero, de manera que el cuadrado de la distancia entre $A_i$ y $A_j$ es igual a $\lambda_i+\lambda_j$ para todo $i,j$ con $i\neq j$.

1. Demostrar que $n\leq 4$.
2. Si $n=4$, demostrar que $\frac{1}{\lambda_1}+\frac{1}{\lambda_2}+\frac{1}{\lambda_3}+\frac{1}{\lambda_4}=0$.

Sea $M$ el punto medio de la mediana $AD$ del triángulo $ABC$ ($D$ pertenece al lado $BC$). La recta $BM$ corta al lado $AC$ en el punto $N$. Demostrar que $AB$ es tangente a la circunferencia circunscrita al triángulo $NBC$ si, y solamente si, se cumple la igualdad $$\frac{BM}{MN}=\frac{BC^2}{BN^2}.$$

La circunferencia inscrita en el triángulo $ABC$ es tangente a $BC$, $CA$ y $AB$ en $D$, $E$ y $F$, respectivamente. Supongamos que dicha circunferencia corta de nuevo a $AD$ en su punto medio $X$, es decir, $AX = XD$. Las rectas $XB$ y $XC$ cortan de nuevo a la circunferencia inscrita en $Y$ y $Z$, respectivamente. Demostrar que $EY =FZ$.