OME Local |
OME Nacional |
OIM |
OME Andalucía |
Retos UJA |
Resta por ver si este triángulo cumple la propiedad. De nuevo por el teorema del coseno, tenemos que el ángulo $\alpha$ opuesto al lado de longitud $4$ cumple \[\cos(\alpha)=\frac{5^2+6^2-4^2}{2\cdot 5\cdot 6}=\frac{3}{4}.\] Por su parte, el ángulo $\beta$ opuesto al lado de longitud $6$ cumple \[\cos(\beta)=\frac{4^2+5^2-6^2}{2\cdot 4\cdot 5}=\frac{1}{8}=2\cos^2(\alpha)-1=\cos(2\alpha).\] Deducimos que $\beta=2\alpha$, luego en este triángulo el ángulo mayor es el doble del menor y respondemos así afirmativamente a la pregunta del enunciado.
Los triángulos sombreados $PDE$, $SCE$ y $SRQ$ son semejantes (son rectángulos y es muy fácil ver que tienen otro ángulo igual). Como $EC=1-DE=1-x$ se corresponde en la semejanza con $PD= \frac{1-x^2}{2}$, el factor de proporcionalidad para pasar de $PDE$ a $SCE$ es $\frac{2}{1+x}$, luego deducimos que $SCE$ tiene perímetro $2$ (la mitad del perímetro del cuadrado, lo que responde a una de las preguntas del enunciado. Así, las longitudes de los lados de $SCE$ (nos las piden también en el enunciado) son \[CE=\frac{2x}{1+x},\qquad SC=1-x,\qquad SE=\frac{1+x^2}{1+x}.\] Ahora observamos que $SR=1-SE=\frac{x(1-x)}{1+x}$. Como este lado se corresponde con $SC=1-x$ en la semejanza, tenemos que el factor de semejanza para pasar de $SCE$ a $SRQ$ es $\frac{1-x}{2}$, por lo que el perímetro de $SRQ$ es $2\cdot \frac{1-x}{2}=1-x$ y sus lados vienen dados por \[RQ=\frac{x(1-x)}{1+x},\qquad SR=\frac{(1-x)^2}{2},\qquad SQ=\frac{(1+x^2)(1-x)}{2(1+x)}.\] La suma de los perímetros de $PDE$ y $SRQ$ es $(1+x)+(1-x)=2$, el perímetro de $SCE$, luego ya hemos demostrado todo lo que nos piden.