Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $\Gamma$ una circunferencia y sean $h$ y $m$ números positivos tales que existe un trapecio $ABCD$ inscrito en $\Gamma$ de altura $h$ y tal que la suma de las bases $AB+CD$ es $m$. Construir el trapecio $ABCD$.

En un triángulo equilátero $ABC$ cuyo lado tiene longitud $2$, se inscribe una circunferencia $\Gamma$.

1. Demostrar que para cada punto $P$ de $\Gamma$, la suma de los cuadrados de sus distancias a los vértices $A$, $B$ y $C$ es $5$.
2. Demostrar que para todo punto $P$ de $\Gamma$ es posible construir un triángulo cuyos lados tienen las longitudes de los segmentos $AP$, $BP$ y $CP$ y cuya área es $\frac{\sqrt{3}}{4}$.

Dados tres puntos no alineados $M$, $N$ y $P$, construir un triángulo sabiendo que $M$ y $N$ son los puntos medios de dos de sus lados y que $P$ es el punto de intersección de sus alturas.

Dos rectas perpendiculares dividen un cuadrado en cuatro partes, tres de las cuales tienen área $1$. Demostrar que el cuadrado tiene área $4$.

Sea $C_1$ una circunferencia, $AB$ uno de sus diámetros, $t$ su recta tangente en $B$ y $M$ un punto de $C_1$ distinto de $A$ y de $B$. Se construye una circunferencia $C_2$ tangente a $C_1$ en $M$ y a la recta $t$.

1. Determinar el punto $P$ de tangencia de $t$ y $C_2$ y hallar el lugar geométrico de los centros de las circunferencias $C_2$ al variar $M$.
2. Demostrar que existe una circunferencia ortogonal a todas las circunferencias $C_2$.