Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Dados tres puntos no alineados $M$, $N$ y $P$, construir un triángulo sabiendo que $M$ y $N$ son los puntos medios de dos de sus lados y que $P$ es el punto de intersección de sus alturas.

Dos rectas perpendiculares dividen un cuadrado en cuatro partes, tres de las cuales tienen área $1$. Demostrar que el cuadrado tiene área $4$.

Sea $C_1$ una circunferencia, $AB$ uno de sus diámetros, $t$ su recta tangente en $B$ y $M$ un punto de $C_1$ distinto de $A$ y de $B$. Se construye una circunferencia $C_2$ tangente a $C_1$ en $M$ y a la recta $t$.

1. Determinar el punto $P$ de tangencia de $t$ y $C_2$ y hallar el lugar geométrico de los centros de las circunferencias $C_2$ al variar $M$.
2. Demostrar que existe una circunferencia ortogonal a todas las circunferencias $C_2$.

En un triángulo $ABC$, sean $I$ el centro de la circunferencia inscrita y $D$, $E$ y $F$ sus puntos de tangencia con los lados $BC$, $AC$ y $AB$, respectivamente. Sea $P$ el otro punto de intersección de la recta $AD$ con la circunferencia inscrita. Si $M$ es el punto medio de $EF$ , demostrar que los cuatro puntos $P$, $I$, $M$ y $D$ pertenecen a una misma circunferencia o están alineados.

La circunferencia inscrita en el triángulo $ABC$ es tangente a los lados $AC$ y $BC$ en los puntos $M$ y $N$, respectivamente. Las bisectrices de $A$ y $B$ cortan a $MN$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente. Sea $O$ el incentro del triángulo $ABC$. Demostrar que \[MP\cdot OA=BC\cdot OQ.\]