Solución. Si intercambiamos dos de los lados, lo que hay dentro del valor absoluto cambia de signo, lo que nos da la idea de intentar sacar factores comunes de la forma $a-b$, $b-c$ y $c-a$. Observamos que
\[\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}=\frac{ab+ac-b^2-bc+ab-ac+b^2-bc}{(a+b)(b+c)}=\frac{2b(a-c)}{(a+b)(b+c)}.\]
Por tanto, tenemos que
\begin{align*}
\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}&=\left(\frac{2b}{(a+b)(b+c)}-\frac{1}{c+a}\right)(a-c)\\
&=\frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}.
\end{align*}
Si suponemos sin pérdida de generalidad que $a\geq b\geq c$, la desigualdad a demostrar es la siguiente sin valor absoluto ya que los factores del numerador son positivos:
\[\frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\lt\frac{1}{16}.\]
Por un lado, la desigualdad triangular nos dice que $a\lt b+c$, lo que nos sirve para estimar $a$ en el numerador. Por otro lado, tenemos que $a\gt b$ nos da una forma de estimar $a$ en el denominador. Juntando estas dos estimaciones, llegamos a que
\[\frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\lt\frac{bc(b-c)}{2b(b+c)^2}=\frac{(\frac{b}{c}-1)}{2(\frac{b}{c}+1)^2}.\]
Tomamos ahora la función $f(x)=\frac{x-1}{2(x+1)^2}$, definida para todo $x\geq 1$ (ya que $\frac{b}{c}\geq 1$). Será suficiente ver que su máximo es menor o igual que $\frac{1}{16}$. Tenemos que su derivada $f'(x)=\frac{3-x}{2(x+1)^3}$ es positiva en $[1,3)$ y negativa en $(3,+\infty)$, luego $f(x)$ crece estrictamente desde $f(1)=0$ hasta $f(3)=\frac{1}{16}$ y luego decrece. Esto concluye la demostración.
Nota. La cota $\frac{1}{16}$ parece no ser óptima.