Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Consideramos un triángulo $ABC$ y un punto $D$ en el lado $AC$. Si $AB=DC=1$, $\angle DBC=30^\circ$ y $\angle ABD=90^\circ$, calcular el valor de $AD$.

El trapecio isósceles $ABCD$ tiene lados paralelos $AB$ y $CD$. Sabemos que $AB=6$, $AD=5$ y $\angle DAB = 60^\circ$. Se lanza un rayo de luz desde $A$ que rebota en $CB$ en el punto $E$ e interseca en $AD$ en el punto $F$. Si $AF=3$, calcula el área del triángulo $AFE$.

Nota. Cuando el rayo rebota en $BC$, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión.

Sea $ABCD$ un trapecio con $AB$ paralela a $CD$ e inscrito en la circunferencia $\Gamma$. Sean $P$ y $Q$ dos puntos en el segmento $AB$ ($A,P,Q,B$ están en ese orden y son distintos) tales que $AP=QB$. Sean $E$ y $F$ los segundos puntos de intersección de las rectas $CP$ y $CQ$ con $\Gamma$, respectivamente. Las rectas $AB$ y $EF$ se cortan en $G$. Demuestra que la recta $DG$ es tangente a $\Gamma$.

Sea $\Gamma$ el circuncírculo del triángulo $ABC$. La recta paralela a $AC$ que pasa por $B$ corta a $\Gamma$ en $D\neq B$ y la paralela a $AB$ que pasa por $C$ corta a $\Gamma$ en $E\neq C$. Las rectas $AB$ y $CD$ se cortan en $P$ y las rectas $AC$ y $BE$ se cortan en $Q$. Sea $M$ el punto medio de $DE$. La recta $AM$ corta a $\Gamma$ en $Y\neq A$ y a la recta $PQ$ en $J$. La recta $PQ$ corta al circuncírculo del triángulo $BCJ$ en $Z\neq J$. Si las rectas $BQ$ y $CP$ se cortan en $X$, demuestra que $X$ pertenece a la recta $YZ$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC\gt AB\gt BC$. Las mediatrices de $AC$ y $AB$ cortan a la recta $BC$ en $D$ y $E$, respectivamente. Sean $P$ y $Q$ puntos distintos de $A$ sobre las rectas $AC$ y $AB$, respectivamente, tales que $AB=BP$ y $AC=CQ$, y sea $K$ la intersección de las rectas $EP$ y $DQ$. Sea $M$ el punto medio de $BC$. Demostrar que $\angle DKA = \angle EKM$.