Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABC$ un triángulo equilátero con circuncentro $O$ y circunferencia circunscrita $\Gamma$. Sea $D$ un punto en el arco menor $BC$, con $DB\gt DC$. La mediatriz de $OD$ corta a $\Gamma$ en $E$ y $F$, estando $E$ en el arco menor $BC$. Sea $P$ el punto de corte de $BE$ y $CF$. Demostrar que $PD$ es perpendicular a $BC$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC\gt AB$ y sea $\Gamma$ su circunferencia circunscrita. Sean $E$ y $F$ los puntos medios de los lados $AC$ y $AB$, respectivamente. La circunferencia circunscrita de $CEF$ y $\Gamma$ se cortan en $X$ y $C$, con $X\neq C$. La recta $BX$ y la tangente a $\Gamma$ por $A$ se cortan en $Y$. Sea $P$ el punto en el segmento $AB$ tal que $YP = YA$, con $P\neq A$, y sea $Q$ el punto donde se cortan $AB$ y la paralela a $BC$ que pasa por $Y$. Demostrar que $F$ es el punto medio de $PQ$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y escaleno. Sean $H$ su ortocentro y $O$ su circuncentro, y sea $P$ un punto interior del segmento $HO$. La circunferencia de centro $P$ y radio $PA$ corta nuevamente a las rectas $AB$ y $AC$ en los puntos $R$ y $S$, respectivamente. Denotamos por $Q$ el punto simétrico de $P$ con respecto a la mediatriz de $BC$. Demostrar que los puntos $P$, $Q$, $R$ y $S$ pertenecen a una misma circunferencia.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $AB\lt AC$. Los puntos medios de los lados $AB$ y $AC$ son $M$ y $N$, respectivamente. Sean $P$ y $Q$ puntos de la recta $MN$ tales que $\angle CBP = \angle ACB$ y $\angle QCB = \angle CBA$. La circunferencia circunscrita del triángulo $ABP$ corta a la recta $AC$ en un punto $D\neq A$ y la circunferencia circunscrita del triángulo $AQC$ corta a la recta $AB$ en $E\neq A$. Demostrar que las rectas $BC$, $DP$ y $EQ$ son concurrentes.

Sea $P$ un punto en el plano. Demuestra que es posible trazar tres semirrectas con origen en $P$ con la siguiente propiedad: para toda circunferencia de radio $r$ que contiene a $P$ en su interior, si $P_1$, $P_2$ y $P_3$ son los puntos de corte de las semirrectas con la circunferencia, entonces \[|PP_1|+|PP_2|+|PP_3|\leq 3r.\]