Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $O$ el circuncentro de un triángulo acutángulo $ABC$ y $A_1$ un punto en el arco menor $BC$ de la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$. Sean $A_2$ y $A_3$ puntos en los lados $AB$ y $AC$, respectivamente, tales que $\angle BA_1A_2=\angle OAC$ y $\angle CA_1A_3=\angle OAB$. Demostrar que la recta $A_2A_3$ pasa por el ortocentro del triángulo $ABC$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo cuyas diagonales son perpendiculares y se cortan en un punto $P$. Demostrar que hay una circunferencia que pasa por las proyecciones desde $P$ a los cuatro lados del cuadrilátero.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico (inscrito en una circunferencia). Demostrar que los incentros de los triángulos $ABC$, $BCD$ y $CDA$ y $ADB$ son los vértices de un rectángulo.

Sea $P$ el punto de intersección de las diagonales de un cuadrilátero cíclico $ABCD$ y sea $M$ el punto medio de $CD$. La circunferencia que pasa por $P$ y que es tangente a $CD$ en $M$, corta a $BD$ y a $AC$ en los puntos $Q$ y $R$, respectivamente. Se toma un punto $S$ sobre el segmento $BD$ de tal manera que $BS = DQ$. Por $S$ se traza una paralela a $AB$ que corta a $AC$ en un punto $T$. Demostrar que $AT = RC$.

Demostrar que en un cuadrilátero cíclico $ABCD$ se cumple que \[AB\cdot BC\cdot CA+CD\cdot DA\cdot AC=BC\cdot CD\cdot DB+DA\cdot AB\cdot BD.\]