Olimpiadas de Matemáticas
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Problema 1069
OIM, 2019-P3
Sea $\Gamma$ el circuncírculo del triángulo $ABC$. La recta paralela a $AC$ que pasa por $B$ corta a $\Gamma$ en $D\neq B$ y la paralela a $AB$ que pasa por $C$ corta a $\Gamma$ en $E\neq C$. Las rectas $AB$ y $CD$ se cortan en $P$ y las rectas $AC$ y $BE$ se cortan en $Q$. Sea $M$ el punto medio de $DE$. La recta $AM$ corta a $\Gamma$ en $Y\neq A$ y a la recta $PQ$ en $J$. La recta $PQ$ corta al circuncírculo del triángulo $BCJ$ en $Z\neq J$. Si las rectas $BQ$ y $CP$ se cortan en $X$, demuestra que $X$ pertenece a la recta $YZ$.
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Problema 1066
OIM, 2018-P6
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC\gt AB\gt BC$. Las mediatrices de $AC$ y $AB$ cortan a la recta $BC$ en $D$ y $E$, respectivamente. Sean $P$ y $Q$ puntos distintos de $A$ sobre las rectas $AC$ y $AB$, respectivamente, tales que $AB=BP$ y $AC=CQ$, y sea $K$ la intersección de las rectas $EP$ y $DQ$. Sea $M$ el punto medio de $BC$. Demostrar que $\angle DKA = \angle EKM$.
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Problema 1062
OIM, 2018-P2
Sea $ABC$ un triángulo tal que $\angle BAC = 90^\circ$ y $BA = CA$. Sea $M$ el punto medio de $BC$. Se elige un punto $D\neq A$ en la semicircunferencia de diámetro $BC$ que contiene a $A$. La circunferencia circunscrita al triángulo $DAM$ interseca a las rectas $DB$ y $BC$ en los puntos $E$ y $F$, respectivamente. Demostrar que $BE=CF$.
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Problema 1055
Sea $O$ el circuncentro del triángulo acutángulo $ABC$ y sea $M$ un punto arbitrario del lado $AB$. La circunferencia circunscrita del triángulo $AMO$ interseca a la recta $AC$ en $A$ y en $K$ y la circunferencia circunscrita del triángulo $BOM$ interseca a la recta $BC$ en $B$ y en $N$. Demostrar que
\[\text{Área}(MNK)\geq\tfrac{1}{4}\text{Área}(ABC)\]
y determinar el caso en que se alcanza la igualdad.
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Problema 1050
Demostrar las siguientes afirmaciones
- La suma de las distancias desde un punto de la superficie de la esfera inscrita en un cubo a todas las caras del mismo no depende del punto elegido.
- Lo mismo es cierto para la suma de los cuadrados de las distancias.
- Lo mismo es cierto para la suma de los cubos.
pistasolución 1info
Pista. En coordenadas, puedes suponer que la esfera está dada por la ecuación $x^2+y^2+z^2=r^2$ y que los planos que contienen los lados del cubo son $x=\pm r$, $y=\pm r$ y $z=\pm r$.
Solución. Podemos elegir un sistema de coordenadas en el espacio para escribir la esfera mediante la ecuación $x^2+y^2+z^2=r^2$, de forma que las caras del cubo estén en los planos $x=\pm r$, $y=\pm r$ y $z=\pm r$. Tomando un punto $(x_0,y_0,z_0)$ de la esfera, vamos a suponer por simetría que está en el primer octante y, por tanto, cumple $0\leq x_0,y_0,z_0\leq r$. Con esto podemos responder fácilmente a las preguntas propuestas
- La suma de las distancias a las caras es \[(r-x_0)+(r+x_0)+(r-y_0)+(r+y_0)+(r-z_0)+(r+z_0)=6r,\] que no depende del punto (en realidad, esto es cierto para cualquier punto interior al cubo, no tiene ni por qué estar en la esfera).
- La suma de los cuadrados de las distancias es \begin{align*} (r-x_0)^2+&(r+x_0)^2+(r-y_0)^2+(r+y_0)^2+(r-z_0)^2+(r+z_0)^2\\ &=6r^2+2(x_0^2+y_0^2+z_0^2)=6r^2+2r^2=8r^2, \end{align*} que tampoco depende del punto.
- Finalmente, la suma de los cubos de las distancias es \begin{align*} (r-x_0)^3+&(r+x_0)^3+(r-y_0)^3+(r+y_0)^3+(r-z_0)^3+(r+z_0)^3\\ &=6r^3+3(x_0^2+y_0^2+z_0^2)=6r^3+3r^2=9r^3, \end{align*} donde hemos podido cancelar por parejas los términos de grado $1$ y $3$ en las variables $x_0,y_0,z_0$.
Nota. Lo mismo ya no es cierto para potencias de exponente $n\geq 4$. Por ejemplo, para $r=1$, el punto $(1,0,0)$ tiene suma de potencias $n$-ésimas de las distancias igual a $2^n+4$ y para punto $(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0)$ esta suma es $2(1-\frac{1}{\sqrt{2}})^2+2(1+\frac{1}{\sqrt{2}})^n+2$. Este último número no es entero para $n\geq 6$ y es igual a $19$ para $n=4$ y a $31$ para $n=5$, luego no coincide con $2^n+4$.
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