Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

En un triángulo escaleno $ABC$ con incentro $I$, la recta $AI$ corta de nuevo a la circunferencia circunscrita en el punto $D$ y $J$ es el punto tal que $D$ es el punto medio de $IJ$. Se consideran puntos $E$ y $F$ en la recta $BC$ tales que $IE$ y $JF$ son perpendiculares a $AI$. Se consideran puntos $G$ en $AE$ y $H$ en $AF$ tales que $IG$ y $JH$ son perpendiculares a $AE$ y $AF$, respectivamente. Probar que $BG = CH$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y escaleno con incentro $I$ y ortocentro $H$. Sea $M$ el punto medio de $AB$. Sobre la recta $AH$ se consideran puntos $D$ y $E$ tales que la recta $MD$ es paralela a $CI$ y $ME$ es perpendicular a $CI$. Demostrar que $AE = DH$.

Sean $A$ y $B$ dos puntos fijos de una circunferencia $\Gamma$ y $r$ una recta. Dado un punto variable $P$ de $\Gamma$, se trazan las rectas $PA$ y $PB$, que cortan a $r$ en $C$ y $D$, respectivamente. Determinar dos puntos $M$ y $N$ de $r$ independientes de $P$ y tales que el producto $CM\cdot DM$ sea constante al variar $P$

Sean $\Gamma$ una circunferencia de centro $O$, $AE$ un diámetro de $\Gamma$ y $B$ el punto medio de uno de los arcos $AE$ de $\Gamma$. El punto $D\neq E$ está sobre el segmento $OE$. El punto $C$ es tal que el cuadrilátero $ABCD$ es un paralelogramo con $AB$ paralelo a $CD$ y $BC$ paralelo a $AD$. Las rectas $EB$ y $CD$ se cortan en el punto $F$. La recta $OF$ corta al arco menor $EB$ de $\Gamma$ en el punto $I$. Demostrar que la recta $EI$ es la bisectriz del ángulo $BEC$.

Sean $X$ e $Y$ los extremos de un diámetro de una circunferencia $\Gamma$ y sea $N$ el punto medio de uno de los arcos $XY$ de $\Gamma$. Sean $A$ y $B$ dos puntos en el segmento $XY$. Las rectas $NA$ y $NB$ cortan nuevamente a $\Gamma$ en los puntos $C$ y $D$, respectivamente. Las tangentes a $\Gamma$ en $C$ y $D$ se cortan en $P$. Sea $M$ el punto de intersección del segmento $XY$ con el segmento $NP$. Demostrar que $M$ es el punto medio del segmento $AB$.