Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Llamemos $2\alpha$, $2\beta$ y $2\gamma$ a los ángulos del triángulo $ABC$ en los vértices $A$, $B$ y $C$, respectivamente. Como $L$ es paralela a $AB$, se tiene que $\angle BGC=\angle ABF=\beta$, $\angle ACG=\angle BAC=2\alpha$, $\angle BCE=\angle ABC=2\beta$ y $\angle AEC=\angle BAD=\alpha$. Esto nos dice que los triángulos $BCG$ y $ACE$ son isósceles, luego $CG=BC=a$ y $CE=AC=b$. La semejanza entre $ABF$ y $CGF$ y la semejanza entre $BAD$ y $CED$ nos dicen que \[\frac{a}{FC}=\frac{c}{AF}=\frac{a+c}{AF+FC}=\frac{a+c}{b},\qquad \frac{b}{DE}=\frac{c}{BD}=\frac{b+c}{BD+DE}=\frac{b+c}{a}.\] Usando esto y el teorema del seno en los triángulos $CFG$ y $CDE$, llegamos a que \[FG=\frac{\sin(2\alpha)}{\sin(\beta)}FC=\frac{ab\sin(2\alpha)}{(a+c)\sin(\beta)},\qquad DE=\frac{\sin(2\beta)}{\sin(\alpha)}CD=\frac{ab\sin(2\beta)}{(b+c)\sin(\alpha)}.\] Igualando estas dos expresiones, llegamos a que \[(a+c)\sin(\beta)\sin(2\beta)=(b+c)\sin(\alpha)\sin(2\alpha).\] Usamos ahora el teorema del seno en $ABC$, que nos dice que $\sin(2\beta)=\frac{b}{a}\sin(2\alpha)$, y el hecho de que $\sin(2\alpha)\neq 0$ por ser $0\lt\alpha\lt90$, para reescribir lo anterior como \[(a+c)b\sin(\beta)=(b+c)a\sin(\alpha)\ \Leftrightarrow\ ab(\sin(\beta)-\sin(\alpha))+c(b\sin(\beta)-a\sin(\alpha))=0.\qquad (\star)\] La demostración habrá terminado si probamos que $\alpha=\beta$, lo que se deduce de $(\star)$ por reducción al absurdo. Si $\alpha\gt\beta\gt 0$, entonces $a\gt b\gt 0$ y $\sin(\alpha)\gt\sin(\beta)\gt 0$ (la función seno es creciente en el intervalo $[0,90]$) luego el miembro de la izquierda en $(\star)$ sería negativo y no cero (como habíamos probado). Análogamente, si $\beta\gt\alpha$, el miembro de la derecha en $(\star)$ es positivo y no cero.

Solución. Llamemos $2\alpha$, $2\beta$ y $2\gamma$ a los ángulos del triángulo $ABC$ en los vértices $A$, $B$ y $C$, respectivamente. Como $L$ es paralela a $AB$, se tiene que $\angle BGC=\angle ABF=\beta$, $\angle ACG=\angle BAC=2\alpha$, $\angle BCE=\angle ABC=2\beta$ y $\angle AEC=\angle BAD=\alpha$. Esto nos dice que los triángulos $BCG$ y $ACE$ son isósceles, luego $CG=BC=a$ y $CE=AC=b$. Si llamamos $v_a=AD$ y $v_b=BF$ a las longitudes de las bisectrices de $ABC$, entonces la semejanza entre $ABF$ y $CGF$ y la semejanza entre $BAD$ y $CED$ nos dicen que \[\frac{a}{FG}=\frac{c}{v_b},\qquad \frac{b}{DE}=\frac{c}{v_a}.\] Teniendo en cuenta que $FG=DE$ según el enunciado, obtenemos que $av_b=bv_a$ o bien $a^2v_b^2-b^2v_a^2=0$. Ahora vamos a usar las siguientes fórmulas para las longitudes de las bisectrices \[v_a^2=\frac{2bc(b+c-a)}{(b+c)^2},\qquad v_b^2=\frac{2ac(a+c-b)}{(a+c)^2}.\] Con ellas podemos transformar la condición $a^2v_b^2-b^2v_a^2=0$ en \begin{align*} \frac{2b^3c(b+c-a)}{(b+c)^2}-\frac{2a^3c(b+c-a)}{(a+c)^2}=0&\ \Leftrightarrow\ b^3(a+c)^2(b+c-a)-a^3(b+c)^2(a+c-b)=0\\ &\ \Leftrightarrow\ (b-a)(b^3(a+c)^2+a^3(b+c)^2)+c(b^3(a+c)^2-a^3(b+c)^2) \end{align*} Ahora bien, podemos sacar un factor $b-a$ del último término $b^3(a+c)^2-a^3(b+c)^2$ si lo desarrollamos: \begin{align*} b^3(a+c)^2-a^3(b+c)^2&=b^3a^2-b^2a^3+2c(b^3a-ba^3)+c^2(b^3-a^3)\\ &=a^2b^2(b-a)+2abc(b+a)(b-a)+c^2(b^2+ab+a^2)(b-a). \end{align*} Juntándolo todo, hemos podido sacar factor común $b-a$ de forma que $av_b-bv_a=0$ equivale a \[(b-a)\left(b^3(a+c)^2+a^3(b+c)^2+ca^2b^2+2abc^2(b+a)+c^3(b^2+ab+b^2)\right)=0.\] Obviamente, el segundo factor de la igualdad anterior es positivo ya que $a,b,c\gt 0$ y todos los coeficientes son positivos. Deducimos que $a=b$, como queríamos probar.