Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Podemos elegir un sistema de coordenadas en el espacio para escribir la esfera mediante la ecuación $x^2+y^2+z^2=r^2$, de forma que las caras del cubo estén en los planos $x=\pm r$, $y=\pm r$ y $z=\pm r$. Tomando un punto $(x_0,y_0,z_0)$ de la esfera, vamos a suponer por simetría que está en el primer octante y, por tanto, cumple $0\leq x_0,y_0,z_0\leq r$. Con esto podemos responder fácilmente a las preguntas propuestas

1. La suma de las distancias a las caras es \[(r-x_0)+(r+x_0)+(r-y_0)+(r+y_0)+(r-z_0)+(r+z_0)=6r,\] que no depende del punto (en realidad, esto es cierto para cualquier punto interior al cubo, no tiene ni por qué estar en la esfera).
2. La suma de los cuadrados de las distancias es \begin{align*} (r-x_0)^2+&(r+x_0)^2+(r-y_0)^2+(r+y_0)^2+(r-z_0)^2+(r+z_0)^2\\ &=6r^2+2(x_0^2+y_0^2+z_0^2)=6r^2+2r^2=8r^2, \end{align*} que tampoco depende del punto.
3. Finalmente, la suma de los cubos de las distancias es \begin{align*} (r-x_0)^3+&(r+x_0)^3+(r-y_0)^3+(r+y_0)^3+(r-z_0)^3+(r+z_0)^3\\ &=6r^3+3(x_0^2+y_0^2+z_0^2)=6r^3+3r^2=9r^3, \end{align*} donde hemos podido cancelar por parejas los términos de grado $1$ y $3$ en las variables $x_0,y_0,z_0$.

Nota. Lo mismo ya no es cierto para potencias de exponente $n\geq 4$. Por ejemplo, para $r=1$, el punto $(1,0,0)$ tiene suma de potencias $n$-ésimas de las distancias igual a $2^n+4$ y para punto $(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0)$ esta suma es $2(1-\frac{1}{\sqrt{2}})^2+2(1+\frac{1}{\sqrt{2}})^n+2$. Este último número no es entero para $n\geq 6$ y es igual a $19$ para $n=4$ y a $31$ para $n=5$, luego no coincide con $2^n+4$.

Solución. Llamemos $a,b,c$ a los lados del triángulo como es habitual y $m=AD$ a la mediana. Es bien conocida la fórmula que nos da el valor de $m$ en términos de los lados: \[m^2=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}.\] Ahora bien, en el triángulo $ADC$, tenemos el ángulo $\angle ACD=45^\circ$ y el ángulo $\angle ADC=180^\circ-\angle ADB=135^\circ$, luego el teorema del seno nos dice que \[\frac{b}{\sen(135)}=\frac{m}{\sen(30)})\ \Longleftrightarrow\ \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{m}{\frac{1}{2}}\ \Longleftrightarrow\ m^2=\frac{b^2}{2}.\] Sustituyendo en la fórmula de la mediana, esto nos da $c^2=\frac{a^2}{2}$, igualdad que se puede escribir como $\frac{a/2}{c}=\frac{c}{a}$, esto es, \frac{BD}{AB}=\frac{AB}{BC}$ y tenemos que los triángulos $ABD$ y $ABC$ son semejantes (tienen un ángulo igual y los lados adyacentes proporcionales). Deducimos así que $\angle BAD=\angle ACB=30^\circ$.