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La segunda posibilidad es que $ABC$ forme un triángulo y $D$ esté en su interior (después de renombrar los vértices si es necesario). En tal caso, hay tres rectas que pasan por dos de los puntos y dejan a los otros dos en semiplanos distintos ($AD$, $BD$ y $CD$) y una sola circunferencia que pasa por tres de ellos y deja al cuarto en su interior (la circunscrita al triángulo $ABC$). En consecuencia, también hay sólo cuatro separadores en este segundo caso.
Nota. Hay varias formas de probar la identidad $d^2=\ell^2+\ell d$. Dos de ellas son las siguientes:
El teorema de Ptolomeo nos dice que en un cuadrilátero cíclico el producto de las diagonales es igual a la suma de los productos de los lados opuestos. Por tanto,
Nota. Aplicando el teorema de Ptolomeo al cuadrilátero $ABCD$ obtenemos \[1+AD=AC^2,\] que es otra relación interesante entre las diagonales del heptágono.
Nota. ¿Qué podría fallar en este argumento si el polígono no es convexo?
La discusión anterior nos dice que el sector $\Omega_r$ no contiene a ningún otro de los puntos $P_1,\ldots,P_{r-1},P_{r+1},\ldots,P_k$, pues $\Omega_r$ está contenido en la unión del círculo bordeado por $\Gamma_r$ y el semiplano determinado por la mediatriz $A_rB_r$ que contiene a $P_r$. Además, como las distancias entre cada par de puntos son distintas, ninguno de los puntos $P_1,\ldots,P_{r-1},P_{r+1},\ldots,P_k$ puede estar en las rectas $OA_r$ ó $OB_r$. Un razonamiento similar nos da la existencia de un sector $\Omega_1$ de ángulo $120º$ centrado en $P_1$ (contenido en la unión del interior de $\Gamma$ y el semiplano determinado por la mediatriz de $OP_1$ que contiene a $P_1$). En consecuencia, si suponemos que las semirrectas de vértice $O$ que pasan por $P_1,P_2,\ldots,P_k$ están ordenadas en sentido antihorario, el ángulo entre dos semirrectas consecutivas es estrictamente mayor que $60º$. Como la suma de los $k$ ángulos que forman estas semirrectas es $360º$, deducimos que $k\leq 5$.
Nota. Se puede probar fácilmente que pudiera haber puntos unidos exactamente a otros $5$ puntos, luego el resultado no se puede mejorar. Una forma de ver esto es considerar el centro y los vértices de un pentágono regular y modificar ligeramente sus posiciones para que todas las distancias sean distintas.