Problema 362
¿Existe un cubo en el espacio tal que las distancias de sus ocho vértices a un plano dado son los números $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$ y $8$?
Solución. Supongamos que el plano es el de ecuación $z=0$ y que uno de los vértices del cubo es $(0,0,0)$. Buscamos una base ortogonal de $\mathbb{R}^3$ formada por tres vectores $v_1,v_2,v_3$ con módulo $\ell$ (el lado del cubo) y cuyas terceras coordenadas son $1$, $2$ y $4$. Si los encontramos, entonces el origen junto con los puntos
\[v_1,\quad v_2\quad v_1+v_2,\quad v_3,\quad v_3+v_1,\quad v_3+v_2,\quad v_3+v_2+v_1\]
serán los vértices del cubo que buscamos. Veamos cómo construir estos vectores:
- En primer lugar, haciendo una rotación respecto del eje $OZ$ si es necesario e imponiendo que el módulo es $\ell$ y la tercera coordenada es $1$, podemos suponer que
\[v_1=\left(\sqrt{l^2-1},0,1\right).\]
- El vector $v_2$ será de la forma $(x,y,2)$. El hecho de que tenga módulo $\ell$ y sea ortogonal a $v_1$ se traduce en las ecuaciones
\[\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+4=\ell^2,\\x\sqrt{\ell^2-1}+2=0.\end{array}\right.\]
Este sistema puede resolverse fácilmente (nos quedamos con la solución positiva para $y$ ya que la negativa es simétrica respecto del plano $XZ$), con lo que queda
\[v_2=\left(\frac{-2}{\sqrt{\ell^2-1}},\frac{\ell\sqrt{\ell^2-5}}{\sqrt{\ell^2-1}},2\right).\]
- El vector $v_3$ será de la forma $(u,v,4)$. Imponer que $v_3$ sea ortogonal a $v_1$ y $v_2$ resulta en las ecuaciones
\[\left\{\begin{array}{l}u\sqrt{\ell^2-1}+4=0,\\\frac{-2u}{\sqrt{\ell^2-1}}+\frac{v\ell\sqrt{\ell^2-5}}{\sqrt{\ell^2-1}}+8=0.\end{array}\right.\]
Este sistema se resuelve fácilmente dando lugar a
\[v_3=\left(\frac{-4}{\sqrt{\ell^2-1}},\frac{-8\ell}{\sqrt{\ell^2-1}\sqrt{\ell^2-5}},4\right).\]
Imponiendo que el módulo de este vector sea igual a $\ell$, nos queda la ecuación
\[|v_3|^2=\ell^2\ \Leftrightarrow\ \frac{\ell^2(21-\ell^2)}{\ell^2-5}=0,\]
de donde se tiene claramente que $\ell=\sqrt{21}$.
De esta manera, los vértices del cubo que cumple el enunciado son
\[(0,0,0),\quad \left(2\sqrt{5},0,1\right),\quad \left(\frac{-\sqrt{5}}{5},\frac{2\sqrt{105}}{5},2\right),\quad \left(\frac{9\sqrt{5}}{5},\frac{2\sqrt{105}}{5},3\right)\]
\[\left(\frac{-2\sqrt{5}}{5},\frac{-\sqrt{105}}{5},4\right),\quad \left(\frac{8\sqrt{5}}{5},\frac{-\sqrt{105}}{5},5\right),\quad \left(\frac{-3\sqrt{5}}{5},\frac{\sqrt{105}}{5},6\right),\quad \left(\frac{7\sqrt{5}}{5},\frac{\sqrt{105}}{5},7\right)\]
Nota. La solución dada es una forma sistemática de obtener un cubo que cumple las hipótesis, aunque hay otros cubos más sencillos que las cumplen (por ejemplo, tomando $v_1=(4,2,1)$ se simplifican un poco los cálculos, aunque a priori es difícil llegar a esta elección). Lo bueno de esta aproximación es que si el cubo no existiera, habríamos llegado a una contradicción.