Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Sean $R$ el radio de la circunferencia circunscrita de $ABC$ y $R'$ el radio de la circunferencia circunscrita de su triángulo órtico. Por un lado, la desigualdad de Euler nos dice que $2r\leq R$ y $2\rho\leq R'$ y, por otro, el círculo de los nueve puntos nos dice que $R'=\frac{1}{2}R$ (ya que la circunferencia circunscrita al triángulo órtico es la circunferencia circunscrita al triángulo de vértices los puntos medios de $ABC$. Con toda esta información, tenemos que \[\rho\leq\frac{1}{2}R'=\frac{1}{4}R=\frac{1}{4}=1-\frac{1}{3}\left(1+\frac{R}{2}\right)^2\leq 1-\frac{1}{3}(1+r)^2.\]

Solución. Para simplificar el problema, podemos llamar $\sin(\theta)$ y $\cos(\theta)$ a los lados de los cuadrados ya que su suma es $\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1$. También podemos suponer que $\sin(\theta)\geq\cos(\theta)$ ya que, en caso contrario, basta cambiar el orden de los cuadrados. Esto nos lleva a que $\theta$ se mueve en el intervalo $[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}]$.

Ahora bien, es claro que la posición en que se deben colocar los dos cuadrados para que quepan en un menor rectángulo es con un lado del cuadrado menor contenido en un lado del cuadrado mayor. De esta forma, el área de dicho rectángulo de menor área en términos de $\theta$ está dada por la función $S:[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}]\to\mathbb{R}$, donde \[S(\theta)=\sin(\theta)(\sin(\theta)+\cos(\theta)).\] El número $A$ que nos piden en el enunciado es el máximo de $S(\theta)$ cuando $\theta\in[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}]$. Para ello, vemos que la derivada de $S$ está dada por \[S'(\theta)=\cos(2\theta)+\sin(2\theta).\] Dividiendo entre $\sin(2\theta)$, es fácil ver que $S'(\theta)=0$ si, y sólo si, $\tan(2\theta)=-1$, lo que nos lleva al único punto crítico $\theta=\frac{3\pi}{8}$. Además, la segunda derivada de $S$ cumple \[S''(\theta)=2\cos(2\theta)-2\sin(2\theta)\leq 0,\quad\text{para }\theta\in[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}].\] Todo esto nos dice que $S$ es una función cóncava y, por tanto, su máximo está dado por \[A=S(\tfrac{3\pi}{8})=\frac{1+\sqrt{2}}{2}\] (para calcular este último valor pueden ser útiles las fórmulas del seno y coseno del ángulo mitad).