Olimpiadas de Matemáticas
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Problema 329
Sea $P$ un punto interior de un triángulo acutángulo $ABC$. Desde el punto $P$ se trazan perpendiculares a los lados $BC$, $AC$ y $AB$, que cortan a éstos en los puntos $A_1$, $B_1$ y $C_1$, respectivamente. ¿Para qué puntos $P$ se cumple que el perímetro del triángulo $A_1B_1C_1$ es mayor o igual que cualquiera de los perímetros de los triángulos $AB_1C_1$, $A_1BC_1$ y $A_1B_1C$?
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Problema 325
Sean $ABC$ un triángulo y $P$ un punto en su interior. Consideremos $P_1$ y $P_2$ los pies de las perpendiculares por $P$ a los lados $AC$ y $BC$, respectivamente, y sean $Q_1$ y $Q_2$ los pies de las perpendiculares desde $C$ a las rectas $AP$ y $BP$. Demostrar que las rectas $AB$, $P_1Q_2$ y $P_2Q_1$ son concurrentes.
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Problema 321
Dado un pentágono regular, construir un triángulo que tenga la misma área.
pistasolución 1info
Pista. Moviendo los vértices del pentágono a lo largo de ciertas rectas, el área no cambia.
Solución. Llamemos $ABCDE$ al pentágono y tracemos por $D$ una paralela a $CE$ y por $B$ una paralela a $AC$. Estas paralelas cortan a la recta que contiene a $AE$ en $D'$ y $B'$, respectivamente, como se muestra en la figura. Entonces, los triángulos $CDE$ y $CD'E$ tienen la misma área, así como los triángulos $ABC$ y $AB'C$. Por tanto, el área del pentágono $ABCDE$ es igual al área del triángulo $B'CD'$.
Nota. ¿Cuáles son los ángulos del triángulo construido? ¿Es equilátero?
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Problema 317
Los puntos $A$, $B$ y $C$ dividen a la circunferencia $\Omega$ en tres arcos. Sea $X$ un punto arbitrario sobre el arco $AB$ y sean $O_1$ y $O_2$ los incentros de los triángulos $ACX$ y $BCX$, respectivamente. Demostrar que las circunferencias circunscritas del triángulo $O_1O_2X$ pasa por un punto fijo de $\Omega$ que no depende de $X$.
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Problema 314
Sea $ABC$ un triángulo escaleno y denotemos por $G$, $I$ y $H$, respectivamente, su baricentro, incentro y ortocentro. Demostrar que el ángulo $\angle GIH$ es obtuso.
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