Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABC$ un triángulo cuyos vértices tienen coordenadas enteras en el plano y sea $S$ el área de $ABC$. Demostrar que si $b+a^2<8S+1$, entonces $A$, $B$ y $C$ son vértices de un cuadrado.

Sean $ABCD$ un cuadrilátero que admite circunferencia circunscrita y $E$, $F$ puntos variables en los lados $AB$ y $CD$, respectivamente, tales que $\frac{AE}{EB}=\frac{CF}{FD}$. Sea $P$ un punto del segmento $EF$ tal que $\frac{PE}{PF}=\frac{AB}{CD}$. Probar que la razón entre las áreas de los triángulos $APD$ y $BPC$ no depende de la elección de los puntos $E$ y $F$.

Dado un cuadrilátero $ABCD$, sabemos que las longitudes de sus lados y de sus diagonales son todas números racionales. Si llamamos $O$ al punto de intersección de dichas diagonales, demostrar que la longitud del segmento $AO$ también es racional.

¿Cómo puede descomponerse un cuadrado en cinco piezas de forma que estas puedan de nuevo ensamblarse para formar tres cuadrados de áreas distintas? Justificar la respuesta.

Una recta divide en dos partes iguales tanto al área como al perímetro de un triángulo dado. Probar que esta recta pasa por el incentro del triángulo. ¿Es cierto el recíproco?