Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Dado un cuadrilátero $ABCD$, sabemos que las longitudes de sus lados y de sus diagonales son todas números racionales. Si llamamos $O$ al punto de intersección de dichas diagonales, demostrar que la longitud del segmento $AO$ también es racional.

¿Cómo puede descomponerse un cuadrado en cinco piezas de forma que estas puedan de nuevo ensamblarse para formar tres cuadrados de áreas distintas? Justificar la respuesta.

Una recta divide en dos partes iguales tanto al área como al perímetro de un triángulo dado. Probar que esta recta pasa por el incentro del triángulo. ¿Es cierto el recíproco?

Sean $M$, $N$ y $K$ los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ con los lados $AB$, $BC$ y $AC$, respectivamente. Si $Q$ es el centro de la circunferencia que pasa por los puntos medios de los segmentos $MN$, $NK$ y $MK$, demostrar que $Q$ está alineado con el circuncentro y el incentro del triángulo $ABC$.

En un triángulo $ABC$ las longitudes de los lados $AC$ y $BC$ son distintas. Dado un punto $X$ en el interior del triángulo, consideramos los ángulos $\alpha=\angle CAB$, $\beta=\angle ABC$, $\varphi=\angle ACX$ y $\psi=\angle BCX$. Demostrar que el lugar geométrico de los puntos $X$ donde se da la igualdad \[\frac{\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\alpha-\beta)}=\frac{\sin\varphi\sin\psi}{\sin(\varphi-\psi)}\] es la mediana del triángulo $ABC$ correspondiente al vértice $C$