Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Supongamos que dos circunferencias $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ se cortan en dos puntos $X$ e $Y$. Probar que existen cuatro puntos con la siguiente propiedad: cualquier circunferencia $\Gamma$ tangetne interior a las dos dadas en puntos $A$ y $B$ y que corta al segmento $XY$ en los puntos $C$ y $D$ es tal que cada una de las rectas $AC$, $AD$, $BC$ y $BD$ pasa por uno de los cuatro puntos.

Sea $P$ un punto interior a un tetraedro regular $T$ de volumen uno. El tetraedro queda dividido en $14$ piezas por los cuatro planos que pasan por $P$ y son paralelos a cada una de sus caras. Si $\Omega$ es la unión de las piezas que no son tetraedros ni paralelepípedos, encontrar las cotas exactas entre las que se mueve el volumen de $\Omega$.

En el plano se tienen un punto $P$ y un polígono $\Omega$ (no necesariamente convexo). Sea $\ell$ el perímetro de $\Omega$, $d$ la suma de las distancias desde $P$ a los vértices de $\Omega$ y $h$ la suma de las distancias de $P$ a las rectas que contienen a los lados de $\Omega$. Demostrar que $d^2-h^2\geq\frac{1}{4}\ell^2$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y supongamos que las rectas tangentes en $A$ y $B$ a su circunferencia circunscrita cortan en los puntos $T$ y $U$, respectivamente, a la tangente a esta circunferencia en el punto $C$. Sean $P$ el punto de corte de las rectas $AT$ y $BC$ y $Q$ el punto medio de $AP$ , $R$ el punto de corte de las rectas $BU$ y $CA$ y $S$ el punto medio de $BR$. Demostrar que $\angle ABQ=\angle BAS$ y determinar, en términos de las razones de las longitudes de los lados, los triángulos para los que dicho ángulo es máximo.

Dado un punto $D$ interior al lado $BC$ del triángulo $ABC$, sea $X$ el otro punto de corte de la circunferencia circunscrita a $ABC$ con la recta $AD$ y sean $P$ y $Q$ los pies de las perpendiculares desde $X$ a las rectas $AB$ y $AC$, respectivamente. Demostrar que la recta $PQ$ es tangente a la circunferencia que tiene por diámetro $XD$ si, y sólo si, $AB=AC$.