Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC\gt AB$ y $O$ su circuncentro. Sea $D$ un punto en el segmento $BC$ tal que $O$ está en el interior del triángulo $ADC$ y $\angle DAO+\angle ADB = \angle ADC$. Llamamos $P$ y $Q$ a los circuncentros de los triángulos $ABD$ y $ACD$, respectivamente, y $M$ al punto de intersección de las rectas $BP$ y $CQ$. Demostrar que las rectas $AM$, $PQ$ y $BC$ son concurrentes.

En el triángulo $ABC$, los puntos medios de los lados $BC$, $AB$ y $AC$ son $D$, $E$ y $F$, respectivamente. Sean $M$ el punto donde la bisectriz interior de $\angle ADB$ corta al lado $AB$ y $N$ el punto donde la bisectriz interior de $\angle ADC$ corta al lado $AC$. Sean además $O$ el punto de intersección de las rectas $AD$ y $MN$, $P$ el punto de intersección de $AB$ y $FO$, y $R$ el punto de intersección de $AC$ y $EO$. Demostrar que $PR=AD$.

En un triángulo acutángulo $ABC$ consideramos su ortocentro $H$. Sean $A'$, $B'$ y $C'$ los simétricos de $H$ con respecto a los lados $BC$, $CA$ y $AB$, respectivamente. Probar que si los triángulos $ABC$ y $A'B'C'$ tienen un ángulo igual, entonces también tienen un lado igual. ¿Es cierto el recíproco?

¿Qué valores han de tener los ángulos $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$ de un triángulo $T$ para que este se pueda dividir en tres triángulos congruentes entre sí?

Sea $E$ una elipse y consideremos tres rectas paralelas $r_1$, $r_2$ y $r_3$, cada una de las cuales corta a $E$ en dos puntos distintos. Sean estos puntos $A_1,B_1$, $A_2,B_2$ y $A_3,B_3$, respectivamente. Probar que los puntos medios de los segmentos $A_1B_1$, $A_2B_2$ y $A_3B_3$ están alineados.