Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

¿Qué valores han de tener los ángulos $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$ de un triángulo $T$ para que este se pueda dividir en tres triángulos congruentes entre sí?

Sea $E$ una elipse y consideremos tres rectas paralelas $r_1$, $r_2$ y $r_3$, cada una de las cuales corta a $E$ en dos puntos distintos. Sean estos puntos $A_1,B_1$, $A_2,B_2$ y $A_3,B_3$, respectivamente. Probar que los puntos medios de los segmentos $A_1B_1$, $A_2B_2$ y $A_3B_3$ están alineados.

Las circunferencias $\mathcal C_1$ y $\mathcal C_2$ se cortan en dos puntos distintos $A$ y $K$. La tangente común a $\mathcal C_1$ y $\mathcal C_2$ más cercana a $K$ toca a $\mathcal C_1$ en $B$ y a $\mathcal C_2$ en $C$. Sean $P$ el pie de la perpendicular desde $B$ sobre $AC$ y $Q$ el pie de la perpendicular desde $C$ sobre $AB$. Si $E$ y $F$ son los puntos simétricos de $K$ respecto de las rectas $PQ$ y $BC$, probar que los puntos $A$, $E$ y $F$ son colineales.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo cuya circunferencia circunscrita es $\Gamma$. Las tangentes a $\Gamma$ por $B$ y $C$ se cortan en $P$. Sobre el arco $AC$ que no contiene a $B$ se toma un punto $M$ distinto de $A$ y $C$, tal que la recta $AM$ corta a la recta $BC$ en $K$. Sean $R$ el punto simétrico de $P$ con respecto a la recta $AM$ y $Q$ el punto de intersección de las rectas $RA$ y $PM$. Sean $J$ el punto medio de $BC$ y $L$ el punto donde la recta paralela por $A$ a la recta $PR$ corta a la recta $PJ$. Demostrar que los puntos $L$, $J$, $A$, $Q$ y $K$ están sobre una misma circunferencia.

Sea $A_1$ el punto diametralmente opuesto al vértice $A$ del triángulo $ABC$ en la circunferencia circunscrita y sea $A'$ el punto en el que la recta $AA_1$ corta al lado $BC$. La perpendicular a $AA'$ trazada por $A'$ corta a los lados $AB$ y $AC$ (o a sus prolongaciones) en $M$ y $N$, respectivamente. Demostrar que los puntos $A$, $M$, $A_1$ y $N$ están en una circunferencia cuyo centro se encuentra en la altura desde $A$ en el triángulo $ABC$.