Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Las circunferencias $\mathcal C_1$ y $\mathcal C_2$ se cortan en dos puntos distintos $A$ y $K$. La tangente común a $\mathcal C_1$ y $\mathcal C_2$ más cercana a $K$ toca a $\mathcal C_1$ en $B$ y a $\mathcal C_2$ en $C$. Sean $P$ el pie de la perpendicular desde $B$ sobre $AC$ y $Q$ el pie de la perpendicular desde $C$ sobre $AB$. Si $E$ y $F$ son los puntos simétricos de $K$ respecto de las rectas $PQ$ y $BC$, probar que los puntos $A$, $E$ y $F$ son colineales.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo cuya circunferencia circunscrita es $\Gamma$. Las tangentes a $\Gamma$ por $B$ y $C$ se cortan en $P$. Sobre el arco $AC$ que no contiene a $B$ se toma un punto $M$ distinto de $A$ y $C$, tal que la recta $AM$ corta a la recta $BC$ en $K$. Sean $R$ el punto simétrico de $P$ con respecto a la recta $AM$ y $Q$ el punto de intersección de las rectas $RA$ y $PM$. Sean $J$ el punto medio de $BC$ y $L$ el punto donde la recta paralela por $A$ a la recta $PR$ corta a la recta $PJ$. Demostrar que los puntos $L$, $J$, $A$, $Q$ y $K$ están sobre una misma circunferencia.

Sea $A_1$ el punto diametralmente opuesto al vértice $A$ del triángulo $ABC$ en la circunferencia circunscrita y sea $A'$ el punto en el que la recta $AA_1$ corta al lado $BC$. La perpendicular a $AA'$ trazada por $A'$ corta a los lados $AB$ y $AC$ (o a sus prolongaciones) en $M$ y $N$, respectivamente. Demostrar que los puntos $A$, $M$, $A_1$ y $N$ están en una circunferencia cuyo centro se encuentra en la altura desde $A$ en el triángulo $ABC$.

Sean $C$ y $C'$ dos circunferencias tangentes exteriores con centros $O$ y $O'$ y radios $1$ y $2$, respectivamente. Desde $O$ se traza una tangente a $C'$ con punto de tangencia en $P'$ y desde $O'$ se traza la tangente a $C$ con punto de tangencia en $P$ en el mismo semiplano que $P'$ respecto de la recta que pasa por $O$ y $O'$. Hallar el área del triángulo $OXO'$, donde $X$ es el punto de corte de $O'P$ y $OP'$.

Dos circunferencias $C$ y $C'$ son secantes en dos puntos $P$ y $Q$. La recta que une los centros corta a $C$ en $R$ y a $C'$ en $R'$, la que une $P$ y $R'$ corta a $C$ en $X\neq P$ y la que une $P$ y $R$ corta a $C'$ en $X'\neq P$. Supongamos además que los tres puntos $X$, $Q$ y $X'$ están alineados.

1. Hallar el ángulo $\angle XPX$.
2. Demostrar que $(d+r−r')(d-r+r')=rr'$, donde $d$ es la distancia entre los centros de las circunferencias y $r$ y $r'$ sus radios.