Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $C$ y $C'$ dos circunferencias tangentes exteriores con centros $O$ y $O'$ y radios $1$ y $2$, respectivamente. Desde $O$ se traza una tangente a $C'$ con punto de tangencia en $P'$ y desde $O'$ se traza la tangente a $C$ con punto de tangencia en $P$ en el mismo semiplano que $P'$ respecto de la recta que pasa por $O$ y $O'$. Hallar el área del triángulo $OXO'$, donde $X$ es el punto de corte de $O'P$ y $OP'$.

Dos circunferencias $C$ y $C'$ son secantes en dos puntos $P$ y $Q$. La recta que une los centros corta a $C$ en $R$ y a $C'$ en $R'$, la que une $P$ y $R'$ corta a $C$ en $X\neq P$ y la que une $P$ y $R$ corta a $C'$ en $X'\neq P$. Supongamos además que los tres puntos $X$, $Q$ y $X'$ están alineados.

1. Hallar el ángulo $\angle XPX$.
2. Demostrar que $(d+r−r')(d-r+r')=rr'$, donde $d$ es la distancia entre los centros de las circunferencias y $r$ y $r'$ sus radios.

En un triángulo $ABC$ la bisectriz por $A$, la mediana por $B$ y la altura por $C$ son concurrentes y además la bisectriz por $A$ y la mediana por $B$ son perpendiculares. Si el lado $AB$ mide una unidad, hallar cuánto miden los otros dos lados.

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo en $C$ no isósceles con catetos $b\gt a$.

1. Hallar el lado del cuadrado $AXYZ$ que circunscribe al triángulo $ABC$ (los vértices $B$ y $C$ tienen que estar en lados distintos del cuadrado).
2. Explicar paso a paso cómo construir el cuadrado $AXYZ$ con regla y compás.

En el triángulo acutángulo $ABC$, el punto $D$ es el pie de la perpendicular desde $A$ sobre el lado $BC$. Sea $P$ un punto del segmento $AD$. Las rectas $BP$ y $CP$ cortan a los lados $AC$ y $AB$ en $E$ y $F$, respectivamente. Sean $J$ y $K$ los pies de las perpendiculares desde $E$ y $F$ sobre $AD$, respectivamente. Demostrar que $FK=EJ$.