Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

En un triángulo $ABC$ la bisectriz por $A$, la mediana por $B$ y la altura por $C$ son concurrentes y además la bisectriz por $A$ y la mediana por $B$ son perpendiculares. Si el lado $AB$ mide una unidad, hallar cuánto miden los otros dos lados.

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo en $C$ no isósceles con catetos $b\gt a$.

1. Hallar el lado del cuadrado $AXYZ$ que circunscribe al triángulo $ABC$ (los vértices $B$ y $C$ tienen que estar en lados distintos del cuadrado).
2. Explicar paso a paso cómo construir el cuadrado $AXYZ$ con regla y compás.

En el triángulo acutángulo $ABC$, el punto $D$ es el pie de la perpendicular desde $A$ sobre el lado $BC$. Sea $P$ un punto del segmento $AD$. Las rectas $BP$ y $CP$ cortan a los lados $AC$ y $AB$ en $E$ y $F$, respectivamente. Sean $J$ y $K$ los pies de las perpendiculares desde $E$ y $F$ sobre $AD$, respectivamente. Demostrar que $FK=EJ$.

Una recta $r$ contiene los puntos $A$, $B$, $C$ y $D$ en ese orden. Sea $P$ un punto fuera de $r$ tal que $\angle APB=\angle CPD$. Probar que la bisectriz de $\angle APD$ corta a $r$ en un punto $G$ tal que \[\frac{1}{GA}+\frac{1}{GC}=\frac{1}{GB}+\frac{1}{GD}.\]

Sean $M$ y $N$ puntos del lado $BC$ del triángulo $ABC$ tales que $BM=CN$, estando $M$ en el interior del segmento $BN$. Sean $P$ y $Q$ puntos que están respectivamente en los segmentos $AN$ y $AM$, tales que $\angle PMC=\angle MAB$ y $\angle QNB=\angle NAC$. ¿Es cierto que $\angle QBC=\angle PBC$?