Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Una recta $r$ contiene los puntos $A$, $B$, $C$ y $D$ en ese orden. Sea $P$ un punto fuera de $r$ tal que $\angle APB=\angle CPD$. Probar que la bisectriz de $\angle APD$ corta a $r$ en un punto $G$ tal que \[\frac{1}{GA}+\frac{1}{GC}=\frac{1}{GB}+\frac{1}{GD}.\]

Sean $M$ y $N$ puntos del lado $BC$ del triángulo $ABC$ tales que $BM=CN$, estando $M$ en el interior del segmento $BN$. Sean $P$ y $Q$ puntos que están respectivamente en los segmentos $AN$ y $AM$, tales que $\angle PMC=\angle MAB$ y $\angle QNB=\angle NAC$. ¿Es cierto que $\angle QBC=\angle PBC$?

En el triángulo $ABC$, sea $A'$ el punto simétrico de $A$ respecto del circuncentro de $ABC$. Demostrar que

1. La suma de los cuadrados de los segmentos de tangentes trazadas desde $A$ y $A'$ a la circunferencia inscrita en $ABC$ es igual a $4R^2-4Rr-2r^2$, siendo $R$ y $r$ los radios de las circunferencias circunscrita e inscrita de $ABC$, respectivamente.
2. La circunferencia de centro $A'$ y radio $A'I$ corta a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en un punto $L$ tal que $AL=\sqrt{AB\cdot AC}$.

El triángulo $\Delta ABC$ es isósceles en $C$ y sea $\Gamma$ su circunferencia circunscrita. Sea $M$ el punto medio del arco $BC$ de $\Gamma$ que no contiene a $A$ y sea $N$ el punto donde la paralela a $AB$ por $M$ vuelve a cortar a $\Gamma$. Se sabe que $AN$ es paralela a $BC$. ¿Cuáles son las medidas de los ángulos de $\Delta ABC$?

En una recta tenemos cuatro puntos $A$, $B$, $C$ y $D$, en ese orden, de forma que $AB=CD$. El punto $E$ es un punto fuera de la recta tal que $CE=DE$. Demostrar que $\angle CED=2\angle AEB$ si, y solo si, $AC=EC$.