Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

En el triángulo $ABC$, sea $A'$ el punto simétrico de $A$ respecto del circuncentro de $ABC$. Demostrar que

1. La suma de los cuadrados de los segmentos de tangentes trazadas desde $A$ y $A'$ a la circunferencia inscrita en $ABC$ es igual a $4R^2-4Rr-2r^2$, siendo $R$ y $r$ los radios de las circunferencias circunscrita e inscrita de $ABC$, respectivamente.
2. La circunferencia de centro $A'$ y radio $A'I$ corta a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en un punto $L$ tal que $AL=\sqrt{AB\cdot AC}$.

El triángulo $\Delta ABC$ es isósceles en $C$ y sea $\Gamma$ su circunferencia circunscrita. Sea $M$ el punto medio del arco $BC$ de $\Gamma$ que no contiene a $A$ y sea $N$ el punto donde la paralela a $AB$ por $M$ vuelve a cortar a $\Gamma$. Se sabe que $AN$ es paralela a $BC$. ¿Cuáles son las medidas de los ángulos de $\Delta ABC$?

En una recta tenemos cuatro puntos $A$, $B$, $C$ y $D$, en ese orden, de forma que $AB=CD$. El punto $E$ es un punto fuera de la recta tal que $CE=DE$. Demostrar que $\angle CED=2\angle AEB$ si, y solo si, $AC=EC$.

Sean $r$ y $s$ dos rectas paralelas y $A$ un punto fijo a igual distancia de ambas rectas. Para cada punto $B$ de la recta $r$, sea $C$ el punto de la recta $s$ tal que $\angle BAC=90^\circ$ y sea $P$ el pie de la perpendicular desde $A$ sobre la recta $BC$. Demuestra que, independientemente de qué punto $B$ de la recta $r$ tomemos, el punto $P$ está sobre una circunferencia fija.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $H$ el punto de intersección de sus alturas. La altura desde $A$ corta a $BC$ en $D$. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $BH$ y $CH$, respectivamente. $DM$ y $DN$ intersecan a $AB$ y $AC$ en $X$ e $Y$, respectivamente. Si $XY$ interseca a $BH$ en $P$ y a $CH$ en $Q$, demostrar que $H$, $P$, $D$ y $Q$ están en una misma circunferencia.