Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $r$ y $s$ dos rectas paralelas y $A$ un punto fijo a igual distancia de ambas rectas. Para cada punto $B$ de la recta $r$, sea $C$ el punto de la recta $s$ tal que $\angle BAC=90^\circ$ y sea $P$ el pie de la perpendicular desde $A$ sobre la recta $BC$. Demuestra que, independientemente de qué punto $B$ de la recta $r$ tomemos, el punto $P$ está sobre una circunferencia fija.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $H$ el punto de intersección de sus alturas. La altura desde $A$ corta a $BC$ en $D$. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $BH$ y $CH$, respectivamente. $DM$ y $DN$ intersecan a $AB$ y $AC$ en $X$ e $Y$, respectivamente. Si $XY$ interseca a $BH$ en $P$ y a $CH$ en $Q$, demostrar que $H$, $P$, $D$ y $Q$ están en una misma circunferencia.

Sean $B$ y $C$ dos puntos fijos de una circunferencia de radio $O$ que no sean diametralmente opuestos. Sea $A$ un punto variable sobre la circunferencia, distinto de $B$ y $C$, y que no pertenece a la mediatriz de $BC$. Sean $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$ y $M$ y $N$ los puntos medios de los segmentos $BC$ y $AH$, respectivamente. La recta $AM$ corta de nuevo a la circunferencia en $D$ y, finalmente, $NM$ y $OD$ se cortan en un punto $P$. Determinar el lugar geométrico del punto $P$ cuando $A$ recorre la circunferencia.

De un prisma recto de base cuadrada, con lado de longitud $L_1$ y altura $H$, extraemos un tronco de pirámide, no necesariamente recto, de bases cuadradas, con lados de longitud $L_1$ (para la inferior) y $L_2$ (para la superior) y altura $H$. Si el volumen del tronco de pirámide es $\frac{2}{3}$ del total del volumen del prisma, ¿cuál es el valor de $\frac{L_1}{L_2}$?

Sea $\Delta ABC$ un triángulo y $D$, $E$ y $F$ tres puntos cualesquiera sobre los lados $AB$, $BC$ y $CA$, respectivamente. Llamemos $P$ al punto medio de $AE$, $Q$ al punto medio de $BF$ y $R$ al punto medio de $CD$. Probar que el área del triángulo $\Delta PQR$ es la cuarta parte del área del triángulo $\Delta DEF$.