Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $B$ y $C$ dos puntos fijos de una circunferencia de radio $O$ que no sean diametralmente opuestos. Sea $A$ un punto variable sobre la circunferencia, distinto de $B$ y $C$, y que no pertenece a la mediatriz de $BC$. Sean $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$ y $M$ y $N$ los puntos medios de los segmentos $BC$ y $AH$, respectivamente. La recta $AM$ corta de nuevo a la circunferencia en $D$ y, finalmente, $NM$ y $OD$ se cortan en un punto $P$. Determinar el lugar geométrico del punto $P$ cuando $A$ recorre la circunferencia.

De un prisma recto de base cuadrada, con lado de longitud $L_1$ y altura $H$, extraemos un tronco de pirámide, no necesariamente recto, de bases cuadradas, con lados de longitud $L_1$ (para la inferior) y $L_2$ (para la superior) y altura $H$. Si el volumen del tronco de pirámide es $\frac{2}{3}$ del total del volumen del prisma, ¿cuál es el valor de $\frac{L_1}{L_2}$?

Sea $\Delta ABC$ un triángulo y $D$, $E$ y $F$ tres puntos cualesquiera sobre los lados $AB$, $BC$ y $CA$, respectivamente. Llamemos $P$ al punto medio de $AE$, $Q$ al punto medio de $BF$ y $R$ al punto medio de $CD$. Probar que el área del triángulo $\Delta PQR$ es la cuarta parte del área del triángulo $\Delta DEF$.

Sean $\Gamma$ una circunferencia de centro $O$, $AE$ un diámetro de $\Gamma$ y $B$ el punto medio de uno de los arcos $AE$ de $\Gamma$. El punto $D\neq E$ está sobre el segmento $OE$. El punto $C$ es tal que el cuadrilátero $ABCD$ es un paralelogramo con $AB$ paralelo a $CD$ y $BC$ paralelo a $AD$. Las rectas $EB$ y $CD$ se cortan en el punto $F$. La recta $OF$ corta al arco menor $EB$ de $\Gamma$ en el punto $I$. Demostrar que la recta $EI$ es la bisectriz del ángulo $\angle BEC$.

Sean $X$ e $Y$ los extremos de un diámetro de una circunferencia $\Gamma$ y $N$ el punto medio de uno de los arcos $XY$ de $\Gamma$. Sean $A$ y $B$ dos puntos en el segmento $XY$. Las rectas $NA$ y $NB$ cortan nuevamente a $\Gamma$ en los puntos $C$ y $D$, respectivamente. Las tangentes a $\Gamma$ en $C$ y $D$ se cortan en $P$. Sea $M$ el punto de intersección del segmento $XY$ con el segmento $NP$. Demostrar que $M$ es el punto medio del segmento $AB$.