Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $\Gamma$ una circunferencia de centro $O$, $AE$ un diámetro de $\Gamma$ y $B$ el punto medio de uno de los arcos $AE$ de $\Gamma$. El punto $D\neq E$ está sobre el segmento $OE$. El punto $C$ es tal que el cuadrilátero $ABCD$ es un paralelogramo con $AB$ paralelo a $CD$ y $BC$ paralelo a $AD$. Las rectas $EB$ y $CD$ se cortan en el punto $F$. La recta $OF$ corta al arco menor $EB$ de $\Gamma$ en el punto $I$. Demostrar que la recta $EI$ es la bisectriz del ángulo $\angle BEC$.

Sean $X$ e $Y$ los extremos de un diámetro de una circunferencia $\Gamma$ y $N$ el punto medio de uno de los arcos $XY$ de $\Gamma$. Sean $A$ y $B$ dos puntos en el segmento $XY$. Las rectas $NA$ y $NB$ cortan nuevamente a $\Gamma$ en los puntos $C$ y $D$, respectivamente. Las tangentes a $\Gamma$ en $C$ y $D$ se cortan en $P$. Sea $M$ el punto de intersección del segmento $XY$ con el segmento $NP$. Demostrar que $M$ es el punto medio del segmento $AB$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que \[AB+CD=\sqrt{2}\,AC\qquad\text{y}\qquad BC+DA=\sqrt{2}\,BD.\] ¿Qué forma tiene dicho cuadrilátero?

Sean $A$, $B$ y $C$ los vertices de un triángulo y $P$, $Q$ y $R$ los respectivos pies de las bisectrices trazadas desde esos mismos vértices. Sabiendo que $PQR$ es un triángulo rectángulo en $P$, demostrar las siguientes afirmaciones:

1. $ABC$ es obtusángulo.
2. En el cuadrilátero $ARPQ$, pese a no ser cíclico, la suma de sus ángulos opuestos es constante.

Por los puntos medios de dos lados de un triángulo $ABC$ trazamos las medianas y unimos los puntos que trisecan el tercer lado con el vértice opuesto. Así, en el interior del triángulo se obtiene una pajarita (dos triángulos unidos por un vértice). Se pide calcular la fracción del área total del triangulo que representa la pajarita.