Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que \[AB+CD=\sqrt{2}\,AC\qquad\text{y}\qquad BC+DA=\sqrt{2}\,BD.\] ¿Qué forma tiene dicho cuadrilátero?

Sean $A$, $B$ y $C$ los vertices de un triángulo y $P$, $Q$ y $R$ los respectivos pies de las bisectrices trazadas desde esos mismos vértices. Sabiendo que $PQR$ es un triángulo rectángulo en $P$, demostrar las siguientes afirmaciones:

1. $ABC$ es obtusángulo.
2. En el cuadrilátero $ARPQ$, pese a no ser cíclico, la suma de sus ángulos opuestos es constante.

Por los puntos medios de dos lados de un triángulo $ABC$ trazamos las medianas y unimos los puntos que trisecan el tercer lado con el vértice opuesto. Así, en el interior del triángulo se obtiene una pajarita (dos triángulos unidos por un vértice). Se pide calcular la fracción del área total del triangulo que representa la pajarita.

Deslizamos un cuadrado de $10\text{cm}$ de lado por el plano $OXY$ de forma que los vértices de uno de sus lados estén siempre en contacto con los ejes de coordenadas, uno con el eje $OX$ y otro con el eje $OY$. Determina los lugares geométricos que en ese movimiento describen:

1. El punto medio del lado de contacto con los ejes.
2. El centro del cuadrado.
3. Los vértices del lado de contacto y del opuesto en el primer cuadrante.

Sea $ABC$ un triángulo y sean $P$ y $Q$ los puntos de intersección de la recta paralela a $BC$ que pasa por $A$ con las bisectrices exteriores de los ángulos $\angle B$ y $\angle C$, respectivamente. La perpendicular a $BP$ por $P$ y la perpendicular a $CQ$ por $Q$ se intersecan en $R$. Si $I$ es el incentro de $ABC$, mostrar que $AI=AR$.