Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Deslizamos un cuadrado de $10\text{cm}$ de lado por el plano $OXY$ de forma que los vértices de uno de sus lados estén siempre en contacto con los ejes de coordenadas, uno con el eje $OX$ y otro con el eje $OY$. Determina los lugares geométricos que en ese movimiento describen:

1. El punto medio del lado de contacto con los ejes.
2. El centro del cuadrado.
3. Los vértices del lado de contacto y del opuesto en el primer cuadrante.

Sea $ABC$ un triángulo y sean $P$ y $Q$ los puntos de intersección de la recta paralela a $BC$ que pasa por $A$ con las bisectrices exteriores de los ángulos $\angle B$ y $\angle C$, respectivamente. La perpendicular a $BP$ por $P$ y la perpendicular a $CQ$ por $Q$ se intersecan en $R$. Si $I$ es el incentro de $ABC$, mostrar que $AI=AR$.

Sobre un rectángulo $ABCD$ se dibujan triángulos equiláteros $BCX$ y $DCY$ de modo que cada uno comparte puntos con el interior del rectángulo. La recta $AX$ corta a la recta $CD$ en $P$. La recta $AY$ corta a la recta $BC$ en $Q$. Demostrar que el triángulo $APQ$ es equilátero.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, $\omega$ su circunferencia inscrita de centro $I$, $\Omega$ su circunferencia circunscrita de centro $O$, y $M$ el punto medio de la altura $AH$, donde $H$ pertenece al lado $BC$. La circunferencia $\omega$ es tangente a este lado $BC$ en el punto $D$. La recta $MD$ corta a $\omega$ en un segundo punto $P$ y la perpendicular desde $I$ a $MD$ corta a $BC$ en $N$. Las rectas $NR$ y $NS$ son tangentes a $\Omega$ en $R$ y $S$, respectivamente. Probar que los puntos $R,P,D,S$ están en una misma circunferencia.

Sean $a$, $b$ y $c$ las longitudes de los lados de un triángulo $ABC$. Si \[b(a+b)(b+c)= a^3+b(a^2+c^2)+c^3,\] demostrar que las medidas (en radianes) de los ángulos $A$, $B$ y $C$ cumplen la relación \[\frac{1}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}+\frac{1}{\sqrt{B}+\sqrt{C}}=\frac{2}{\sqrt{A}+\sqrt{C}}.\]