Olimpiadas de Matemáticas
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Problema 882
OIM, 2010-P5
Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico cuyas diagonales $AC$ y $BD$ son perpendiculares. Sean $O$ el circuncentro de $ABCD$, $K$ la intersección de sus diagonales, $L\neq O$ la intersección de las circunferencias circunscritas a $OAC$ y $OBD$, y $G$ la intersección de las diagonales del cuadrilátero cuyos vértices son los puntos medios de $ABCD$. Probar que $O$, $K$, $L$ y $G$ están alineados.
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Problema 880
OIM, 2010-P3
La circunferencia $\Gamma$ inscrita al triángulo escaleno $ABC$ es tangente a los lados $BC$, $CA$ y $AB$ en los puntos $D$, $E$ y $F$, respectivamente. La recta $EF$ corta a la recta $BC$ en $G$. La circunferencia de diámetro $GD$ corta a $\Gamma$ en $R$ ($R\neq D$). Sean P y Q ($P\neq R$, $Q\neq R$) las intersecciones de $BR$ y $CR$ con $\Gamma$, respectivamente. Las rectas $BQ$ y $CP$ se cortan en $X$. La circunferencia circunscrita a $CDE$ corta al segmento $QR$ en $M$ y la circunferencia circunscrita a $BDF$ corta al segmento $PR$ en $N$. Demostrar que las rectas $PM$, $QN$ y $RX$ son concurrentes.
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Problema 877
Sea $P$ un punto cualquiera de la bisectriz del ángulo $A$ de un triángulo $ABC$ y sean $A',B',C'$ puntos de las rectas $BC,CA,AB$, respectivamente, tales que $PA'$ es perpendicular a $BC$, $PB'$ es perpendicular a $CA$ y $PC'$ es perpendicular a $AB$. Demostrar que $PA'$ y $B'C'$ se cortan sobre la mediana $AM$, siendo $M$ el punto medio de $BC$.
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Problema 875
Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y sea $P$ la intersección de sus diagonales $AC$ y $BD$ y supongamos que cumple $\angle APD=60^\circ$. Sean $E,F,G,H$ los puntos medios de los lados $AB,BC,CD,DA$, respectivamente. Hallar el mayor número real positivo $k$ tal que
\[EG+3HF\geq kd+(1-k)s,\]
siendo $s$ el semiperímetro de $ABCD$ y $d$ la suma de las longitudes de las diagonales.
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Problema 869
Se considera un tetraedro regular como el de la figura. Si el punto $E$ recorre la arista $AB$. ¿Cuándo el ángulo $\angle CED$ es máximo?
pistasolución 1info
Pista. Si $M$ es el punto medio de $CD$, demuestra el ángulo será máximo cuando la longitud de $EM$ sea mínima.
Solución. Sea $M$ el punto medio de $CD$, de forma que $EM$ es una altura del triángulo isósceles $CDE$. El ángulo $\alpha=\angle CED$ verifica que $\mathrm{tan}(\frac{\alpha}{2})=\frac{CM}{EM}$. El ángulo será máximo cuando la tangente sea máxima, es decir, cuando $EM$ sea mínimo ya que $CM$ no depende de dónde hayamos puesto el punto $E$. Ahora podemos restringirnos al plano que contiene al triángulo $ABM$. El segmento $EM$ está en este plano y su longitud será mínima cuando $EM$ sea perpendicular a $AB$, es decir, cuando $EM$ sea una altura de $ABM$, que coincide con la mediatriz por ser $ABM$ isósceles. Concluimos que el ángulo $\angle CED$ es máximo cuando $E$ es el punto medio de $AB$.
Nota. Usando el seno en lugar de la tangente, también puede razonarse de forma similar que lo que hay que minimizar es la longitud de $CE$, lo que nos lleva a que ha de ser perpendicular a $AC$ y $E$ tiene que ser el punto medio.
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