Dado un triángulo acutángulo $ABC$, determinar para qué puntos $P$ de su interior se verifican simultáneamente las siguientes desigualdades:
\[1\leq\frac{\angle APB}{\angle ACB}\leq 2,\qquad 1\leq\frac{\angle BPC}{\angle BAC}\leq 2,\qquad 1\leq\frac{\angle CPA}{\angle CBA}\leq 2.\]
pistasolución 1info
Pista. Demuestra que se tiene necesariamente la igualdad a $2$ en las tres fracciones.
Solución. Estas tres desigualdades se pueden reescribir como
\begin{align*}
\angle ACB\leq \angle APB\leq 2\angle ACB,\\
\angle BAC\leq \angle BPC\leq 2\angle BAC,\\
\angle CBA\leq \angle CPA\leq 2\angle CBA.
\end{align*}
Sumando y usando que $\angle ACB+\angle BAC+\angle CBA=180^\circ$ (los ángulos del triángulo $ABC$ suman $180^\circ$, tenemos que
\[180^\circ\leq \angle APB+\angle BPC+\angle CPA\leq 360^\circ.\]
Sin embargo, se tiene que $\angle APB+\angle BPC+\angle CPA=360^\circ$ ya que estos tres ángulos forman un ángulo completo. Tenemos así que deben darse las siguientes tres igualdades:
\[\angle APB=2\angle ACB,\qquad\angle BPC=2\angle BAC,\qquad\angle CPA=2\angle CBA.\]
Estas igualdades se cumplen si $P$ coincide con $O$, el circuncentro de $ABC$ por la propiedad del ángulo central en la circunferencia circunscrita a $ABC$. Por la propiedad del arco capaz, la igualdad $\angle APB=\angle AOP$ nos dice que $P$ tiene que estar en la circunferencia circunscrita de $ABO$ y análogamente, tiene que estar en las circunferencias circunscritas de $BCO$ y $CAO$. Como estas tres circunferencias solo se cortan en $O$, necesariamente ha de ser $P=O$. Hemos probado así que el circuncentro es el único punto que cumple las condiciones del enunciado (observemos que el circuncentro es interior al triángulo puesto que es acutángulo).