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Problema 1109
Los vértices de un triángulo equilátero $ABC$ de lado $1$ están en la superficie de una esfera de radio $1$ y centro $O$. Sea $D$ la proyección ortogonal de $A$ sobre el plano $\alpha$ determinado por $B$, $C$ y $O$. Llamamos $N$ a uno de los cortes con la esfera de la recta perpendicular a $\alpha$ por $O$. Hallar la medida del ángulo $\angle DNO$.
Nota. La proyección ortogonal de $A$ sobre $\alpha$ es el punto de corte con $\alpha$ de la recta perpendicular a $\alpha$ que pasa por $A$.
pistasolución 1info
Pista. Demuestra que $D$ es el centro del triángulo equilátero $OBC$.
Solución. Tenemos que $OA=OB=OC=1$ y $AB=AC=BC=1$, luego $OABC$ es un tetraedro regular y $D$ es el centro de la cara $OBC$, que es un triángulo equilátero. En particular, $OD$ es $\frac{2}{3}$ de la altura de este triángulo, luego $OD=\frac{2}{3}\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{\sqrt{3}}$. Ahora bien, la recta $ON$ es paralela a $DA$ ya que ambas son perpendiculares a $\alpha$, luego los puntos $A,O,N,D$ están todos en un plano perpendicular a $\alpha$. El triángulo $DNO$ es rectángulo y en él puede verse que el ángulo buscado $\angle DNO$ tiene tangente $\frac{OD}{ON}=\frac{1}{\sqrt{3}}$, luego ha de ser $\angle DNO=30^\circ$.
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Problema 1108
Sea $ABC$ un triángulo con $AB\neq AC$, sea $I$ su incentro, $\gamma$ su circunferencia inscrita y $D$ el punto medio de $BC$. La tangente a $\gamma$ por $D$ diferente de $BC$ toca a $\gamma$ en E. Demuestra que $AE$ y $DI$ son paralelas.
Sin pistas
Sin soluciones
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Problema 1104
En un triángulo acutángulo $ABC$, sea $M$ el punto medio del lado $AB$ y $P$ el pie de la altura sobre el lado $BC$. Prueba que si $AC+BC=\sqrt{2}AB$, entonces la circunferencia circunscrita del triángulo $BMP$ es tangente al lado $AC$.
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Problema 1098
OIM, 2020-P11
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sean $D$ el pie de la altura correspondiente al lado $BC$; $M$ el punto medio del lado $BC$ y $F$ el punto de corte de la bisectriz interior del ángulo $\angle BAC$ con el lado $BC$. Determinar todos los triángulos $ABC$ para los cuales $F$ es el punto medio del segmento $DM$.
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Problema 1096
Sea $O$ un punto interior del triángulo $ABC$ y sean $M$, $N$ y $P$ las intersecciones de $AO$ con $BC$, $BO$ con $CA$ y $CO$ con $AB$, respectivamente. Demostrar que de entre los seis triángulos que se forman, hay al menos dos cuya área es menor o igual que $\frac{1}{6}$ del área de $ABC$.
Sin pistas
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