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El primer caso es que $P$ sea interior al triángulo $ABC$. Los cuadriláteros $ZPBX$ e $YPXC$ son cíclicos ya que tienen dos ángulos rectos opuestos. La propiedad del arco capaz nos dice que $\angle XPY=180-\angle ACB$ y $\angle ZPX=180-\angle ABC$; como se tiene que $\angle ACB=\angle ABC$ por ser $ABC$ isósceles, se deduce que $\angle XPY=\angle ZPX$ y ya tenemos un ángulo igual. Para el segundo ángulo, calculamos de nuevo por arco capaz \begin{align*} \angle PXY-\angle ZPX&=\angle PCY-\angle PBX=\angle ACB-\angle PCX-\angle PBX\\ &=\angle ACB-180+\angle BPC. \end{align*} En el último paso hemos usado que los ángulos del triángulo $BPC$ suman $180$. Ahora bien, $\angle BOC=360-2\angle BPC$ por la propiedad del arco central, donde $O$ es el centro de la circunferencia tangente a los lados. Como en el cuadrilátero $ABCO$ los ángulos suman $360$ y dos de ellos son rectos, llegamos a que $\angle BOC=180-\angle BAC$ y, por tanto, $\angle BPC=90+\frac{1}{2}\angle BAC=180-\angle ACB$ (ya que $ABC$ es isósceles). Volviendo al cálculo anterior, tenemos que $\angle PXY-\angle ZPX=0$, lo que concluye la demostración de que $XPY$ es semejante a $ZPX$.
El segundo caso es que $P$ sea exterior al triángulo $ABC$, es decir, $P$ está en el arco mayor $BC$ de la circunferencia. La demostración se adapta pero los cálculos son ligeramente distintos. La igualdad $\angle XPY=\angle ZPX$ es cierta pero en este caso porque los dos ángulos son iguales a $180-\angle ABC$. Para la otra igualdad de ángulo, calculamos \begin{align*} \angle PXY-\angle ZPX&=\angle PCY-\angle PBX=180-\angle ACB-\angle PCX-\angle PBX\\ &=\angle ACB+\angle BPC=\angle ACB+\tfrac{1}{2}\angle BOC=\angle ACB+\tfrac{1}{2}(180-\angle BAC)=0. \end{align*}
En cuanto al apartado (b), calculamos el área del triángulo de dos formas distintas. Por un lado, $S=\frac{1}{2}(a+b+c)r$ y por otro $S=\frac{1}{2} ah_a$, siendo $h_a$ la altura relativa al vértice $A$. Sustituyendo $a=\frac{b+c}{2}$ en ambas expresiones e igualándolas, se llega directamente a que $h_a=3r$.
Finalmente, para el apartado (c) usaremos la fórmula $abc=4RS$ y la fórmula de Herón, de forma que \begin{align*} R-r&=\frac{abc}{4S}-\frac{2S}{a+b+c}=\frac{abc(a+b+c)-8S^2}{4(a+b+c)S}\\ &=\frac{abc(a+b+c)-\frac{1}{2}(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{4(a+b+c)S}\\ &=\frac{2abc-(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{8S}=\frac{(b+c)bc-\frac{b+c}{2}(\frac{-b+3c}{2})(\frac{3b-c}{2})}{8S}\\ &=\frac{(b+c)(3b^2-2bc+3c^2)}{64S}=\frac{abc\cos(A)}{4S}=R\cos(A). \end{align*} Si $O$ es el circuncentro y $M$ el punto medio de $BC$, entonces el triángulo $BOM$ es rectángulo y tiene $\angle COM=A$ ya que este es la mitad del ángulo central. Por tanto, en este triángulo rectángulo se cumple que $\cos(A)=\frac{OM}{OB}$, es decir, $OM=OB\cos(A)=R\cos(A)$ y hemos terminado.
Nota. Probablemente, la demostración del apartado (c) no sea la más elegante, pero es sistemática en el sentido de que expresamos $R-r$ en función únicamente de los lados $a,b,c$. Luego se puede expresar también $OM$ en términos de estos lados y usando la condición $a=\frac{b+c}{2}$ se tiene que conseguir probar el enunciado. En la solución propuesta, se ha introducido además el área y el coseno de $A$ como atajo para evitar más cálculos.
Para $k=1$, está claro que $a_1=1$ (es un lado del polígono) y $a_2=d_2$ por simetría de este primer triángulo respecto de la mediatriz del lado $BC$. Supongamos entonces cierto que $a_{k-1}a_k=d_{k-1}$ para cierto $k$ y probemos que $a_ka_{k+1}=d_k$. Para ello, consideramos el triángulo que se obtiene al unir los triángulos $(k-1)$-ésimo y $k$-ésimo, que tiene por lados $a_{k-1}$, $a_{k+1}$ y $d_{k-1}+d_k$, de forma que $a_k$ es la longitud de una de sus bisectrices interiores. El teorema de la bisectriz (ver la nota) nos da entonces el resultado deseado:
\[\frac{a_{k+1}}{d_k}=\frac{a_{k-1}}{a_{k-1}a_k}=\frac{1}{a_k}\ \Leftrightarrow\ a_ka_{k+1}=d_k.\]
Nota. El teorema de la bisectriz nos dice que la bisectriz interior de un triángulo desde un vértice divide al lado opuesto en dos segmentos proporcionales a los lados correspondientes.