Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cualquiera. Sean $P$ y $Q$ los puntos medios de las diagonales $BD$ y $AC$, respectivamente. Las paralelas por $P$ y $Q$ a la otra diagonal se cortan en $O$. Si unimos $O$ con las cuatro puntos medios de los lados $X$, $Y$, $Z$ y $T$ se forman cuatro cuadriláteros: $OXBY$, $OYCZ$, $OZDT$ y $OTAX$. Probar que los cuatro cuadriláteros tienen la misma área.

En un triángulo $ABC$, sean $A’$ el pie de la altura relativa al vértice $A$ y $H$ el ortocentro.

1. Dado un número real positivo $k$ tal que $\frac{AA'}{HA'}=k$, encontrar la relación entre los ángulos $B$ y $C$ en función de $k$.
2. Si $B$ y $C$ son fijos, hallar el lugar geométrico del vértice $A$ para cada valor de $k$.

Dos circunferencias secantes $C_1$ y $C_2$ de radios $r_1$ y $r_2$ se cortan en los puntos $A$ y $B$. Por $B$ se traza una recta variable que corta de nuevo a $C_1$ y $C_2$ en dos puntos que llamaremos $P_r$ y $Q_r$, respectivamente. Demostrar que existe un punto $M$ que depende solo de $C_1$ y $C_2$ tal que la mediatriz del segmento $P_rQ_r$ pasa por $M$.

Las rectas $r$ y $s$ son tangentes a la parábola de ecuación $y=x^2$ en los puntos $A$ y $B$ y se cortan en un punto $C$. La mediana del triángulo $ABC$ correspondiente al vértice $C$ tiene longitud $m$. Determinar el área del triángulo $ABC$ en función de $m$.

Un cuadrado $ABCD$ de lado $1$ gira un ángulo $\alpha$ en torno a su centro $O$. Hallar el área común a ambos cuadrados.