Sea $P$ un punto interior a un triángulo $ABC$. Por $P$ se trazan paralelas $KP$, $MP$ y $NP$ a los lados $AB$, $AC$ y $BC$, respectivamente, que dividen el triángulo inicial en tres triángulos y tres paralelogramos. Sean $S_1$, $S_2$, $S_3$ las áreas de los nuevos triángulos y $S$ el área del triángulo $ABC$. Probar que
\[S\leq 3(S_1+S_2+S_3).\]
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Pista. Demuestra que las altura de $ABC$ es la suma de las alturas de los tres triángulos.
Solución. En la figura pueden verse los tres triángulos que tienen su vértice en $P$ dibujados de colores distintos. Trasladamos dos de ellos de forma paralela a los lados hasta que se apoyen los tres sobre un mismo lado del triángulo (en la figura hemos elegido el lado $AB$). Los tres triángulos así obtenidos son semejantes pues tienen sus lados paralelos a los lados del triángulo original. Por tanto, sus áreas serán proporcionales al cuadrado de sus alturas, es decir, $S_1=\lambda h_1^2$, $S_2=\lambda h_2^2$, $S_3=\lambda h_3^2$ para cierta constante positiva $\lambda$. Por otro lado, la altura del triángulo grande $ABC$ es $h_1+h_2+h_3$ y también es semejante a los tres triángulos pequeños, luego $S=\lambda(h_1+h_2+h_3)^2$ y la desigualdad a probar se puede reescribir como
\[(h_1+h_2+h_3)^2\leq 3(h_1^2+h_2^2+h_3^2)\]
ya que podemos cancelar $\lambda$ en ambos miembros. Desarrollando el cuadrado y agrupando términos, esta desigualdad se puede reescribir como
\[0\leq 2(h_1^2+h_2^2+h_3^2-h_1h_2-h_1h_3-h_2h_3)=(h_1-h_2)^2+(h_2-h_3)^2+(h_3-h_1)^2,\]
que es obviamente cierta.
![imagen](./imagen/sol/770.png)
Nota. La igualdad se cumple cuando $h_1=h_2=h_3$, luego los tres triángulos pequeños deben ser iguales (congruentes). Esto se cumple si y solo si $P$ es el baricentro del triángulo. ¿Sabrías demostrarlo?
Para cuatro puntos no coplanarios, un plano ecualizador es un plano tal que las distancias respectivas de cada uno de los puntos a ese plano son todas iguales. Dado un conjunto de cuatro puntos no coplanarios, ¿cuántos planos ecualizadores hay?
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Pista. Investiga cuántos puntos se pueden quedar a un lado y otro de un plano ecualizador.
Solución. Si los cuatro puntos se quedaran a un mismo lado de un plano ecualizador, entonces serían coplanarios (estarían en un plano paralelo al ecualizador). Por tanto, un plano ecualizador debe separar a los cuatro puntos en $2$ y $2$ o bien $3$ y $1$. Para cada partición de los cuatro puntos en dos parejas, existe el plano ecualizador: basta tomar un plano paralelo a las rectas que contienen a sendas parejas y que las deje a la misma distancia (dicho plano es único porque las rectas no pueden ser paralelas ya que los cuatro puntos serían coplanarios. También para cada partición de los cuatro puntos en $3$ y $1$ puntos existe un único plano ecualizador ya que hay que tomarlo paralelo al plano que define el subconjunto de $3$ puntos y equidistante de este plano y del cuarto punto.
Por tanto, tenemos tantos planos ecualizadores como particiones: hay $3$ particiones de $2+2$ puntos y $4$ particiones de $3+1$ puntos, lo que nos da un total de $7$ planos ecualizadores.