Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Si llamamos $\alpha,\beta,\gamma$ a las tres raíces de $p(x)$, entonces podemos escribir \begin{align*} p(x)&=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\\ &=x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma, \end{align*} de modo que (identificando coeficientes) obtenemos las relaciones de Cardano-Vieta: \[\alpha+\beta+\gamma=-2,\qquad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=3,\qquad\alpha\beta\gamma=-4.\] Esto nos permite calcular \[\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)=(-2)^2-2\cdot 3=-2.\] Con un poco más de esfuerzo, podemos expresar también la suma de los cubos en términos de las cantidades conocidas desarrollando \begin{align*} (\alpha+\beta+\gamma)^3&=\alpha^3+\beta^3+\gamma^3+3[\alpha\beta^2+\alpha\gamma^2+\beta\alpha^2+\beta\gamma^2+\gamma\alpha^2+\gamma\beta^2]+6\alpha\beta\gamma \end{align*} y también \[(\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma)(\alpha+\beta+\gamma)=[\alpha\beta^2+\alpha\gamma^2+\beta\alpha^2+\beta\gamma^2+\gamma\alpha^2+\gamma\beta^2]+3\alpha\beta\gamma.\] Podemos despejar en ambas e igualar el término entre corchetes para llegar a que \begin{align*} \alpha^3+\beta^3+\gamma^3&=(\alpha+\beta+\gamma)^3-3(\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma)(\alpha+\beta+\gamma)+3\alpha\beta\gamma\\ &=(-2)^3-3\cdot 3\cdot(-2)+3\cdot (-4)=-2. \end{align*} Vemos así que $\alpha+\beta+\gamma=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=\alpha^3+\beta^3+\gamma^3=-2$.

Nota. El cálculo de polinomios simétricos de las raíces de polinomios es un tema recurrente en las olimpiadas y este problema es más bien un ejercicio estándar.

Solución. Si llamamos $\alpha,\beta,\gamma$ a las tres raíces de $p(x)$, entonces podemos escribir \begin{align*} p(x)&=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\\ &=x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma, \end{align*} de modo que (identificando coeficientes) obtenemos las relaciones de Cardano-Vieta: \[\alpha+\beta+\gamma=-2,\qquad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=3,\qquad\alpha\beta\gamma=-4.\] Ahora bien, queremos encontrar un polinomio $q(x)$ cuyas raíces sean $\alpha^2$, $\beta^2$ y $\gamma^2$, luego por un argumento similar al anterior, dicho polinomio será \[q(x)=x^3-(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2)x^2+(\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2)x-\alpha^2\beta^2\gamma^2\] y bastará encontrar los tres coeficientes anteriores. Esto no es demasiado dificultoso ya que podemos calcularlos en términos de las cantidades ya conocidas: \[\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)=(-2)^2-2\cdot 3=-2,\] \[\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2=(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^2-2\alpha\beta\gamma(\alpha+\beta+\gamma)=3^2-2\cdot 4\cdot 2=-7,\] \[\alpha^2\beta^2\gamma^2=(\alpha\beta\gamma)^2=4^2=16.\] De esta forma, el polinomio buscado es $q(x)=x^3+2x^2-7x-16$.

Solución. Supongamos que $\alpha$ es una raíz común a ambos polinomios. Restando las igualdades $\alpha^n+a\alpha=2008$ y $\alpha^n+b\alpha=2009$, obtenemos que $(b-a)\alpha=1$, luego solo hay una posible raíz común, que es $\alpha=\frac{1}{b-a}$. Sustituyéndola en la primera ecuación, tenemos que \[\frac{1}{(b-a)^n}+\frac{a}{b-a}=2008\ \Leftrightarrow\ \frac{1}{(b-a)^{n-1}}=2008(b-a)-a=2008b-2009a.\] De aquí deducimos que \[(b-a)^{n-1}(2008b-2009a)=1.\] Al tratarse de números enteros obtenemos que $b-a=\pm 1$ y $2008b-2009a=\pm 1$, aunque habrá que tener en cuenta la paridad del exponente $n-1$. Distingamos casos:

• Si $b-a=1$ y $2008b-2009a=1$, podemos resolver este sistema lineal para llegar a que $a=2007$ y $b=2008$, en cuyo caso se comprueba fácilmente que $x_0=1$ es raíz común a los dos polinomios del enunciado.
• Si $b-a=-1$ y $2008b-2009a=1$ (siendo $n$ impar), el sistema lineal nos da $a=-2009$ y $b=-2010$, en cuyo caso la raíz común es $x_0=-1$ (se comprueba fácilmente).
• Si $b-a=-1$ y $2008b-2009a=-1$ (siendo $n$ par), el sistema lineal nos da $a=-2007$ y $b=-2008$, en cuyo caso la raíz común es $x_0=-1$ (se comprueba también fácilmente).

Por tanto, respondemos al enunciado diciendo que las soluciones $(a,b)$ para $n$ par son $(2007,2008)$ y $(-2007,-2008)$; si $n$ es impar, las soluciones son $(2007,2008)$ y $(-2009,-2010)$.