Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Vamos a probar el contrarrecíproco, es decir, si $P(x)$ tiene alguna raíz entera $\alpha$, entonces alguno de los enteros $P(1),P(2),\ldots,P(k)$ es divisible por $k$. Que $\alpha\in\mathbb{Z}$ sea raíz quiere decir que $P(x)=(x-\alpha)Q(x)$. Ahora bien, debe existir un entero $j$ tal que $1\leq j\leq k$ y $j\equiv \alpha\ (\text{mod }k)$. Evaluando en este entero, tenemos que $P(j)=(j-\alpha)Q(j)$ es múltiplo de $k$ ya que $j-\alpha$ lo es.

Solución. Llamando $\alpha,\beta,\gamma$ a las tres raíces, podemos expresar \begin{align*} x^3-x+k&=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\\ &=x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma)x-\alpha\beta\gamma. \end{align*} Identificando los términos con $x^2$, obtenemos que $\alpha+\beta+\gamma=0$, luego podemos escribir $\gamma=-\beta-\alpha$. Ahora bien, los términos con $x$ nos dan \[-1=\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma=\alpha\beta-\beta(\alpha+\beta)-\alpha(\alpha+\beta),\] de donde sacamos que $\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2=1$. Ahora hay que darse cuenta de que esta ecuación no tiene muchas soluciones enteras; por ejemplo, podemos reescribirla como $\alpha^2+(\alpha+\beta)^2+\beta^2=2$, lo que nos asegura que $\alpha$ y $\beta$ están en el intervalo $[-1,1]$. Probando los distintos valores, llegamos a que solo puede ser $(\alpha,\beta)=(1,0)$ o bien $(\alpha,\beta)=(0,1)$. Esto nos da $\gamma=-\alpha-\beta=-1$. El término independiente del polinomio nos dice que $k=-\alpha\beta\gamma=0$.

Hemos demostrado así que la única solución es $k=0$.