Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Consideremos el polinomio $p(z)=z^3+2z^2+10z-20$. Como el coeficiente en $z^3$ es uno, si $x$ fuera una raíz racional de $p(z)$, tendría que ser entera y, por tanto, un divisor de $20$. Ahora bien, $p(z)\geq p(2)=16\gt 0$ para $z\geq 2$, luego $x\leq 1$. Por otro lado, $p(z)=z(z^2+2)+10z-20$, luego $p(z)\leq-20$ para $z\leq 0$, de donde $x\gt 0$. Tenemos entonces que $0\lt x\leq 1$, de donde la única posibilidad es $x=1$. Como $x=1$ no satisface la ecuación, deducimos que $x$ no es racional.

Para ver si $x^2$ es racional o no, observemos que \begin{eqnarray*} 0=p(x)p(-x)&=&(x^3+2x^2+10x-20)(-x^3+2x^2-10x-20)\\ &=&-x^6-16x^4-180x^2+400, \end{eqnarray*} luego $y=x^2$ es una raíz del polinomio $q(z)=z^3+16z^2+180z-400$. Razonando de forma similar al caso anterior, si $y$ fuese racional, entonces sería entero y divisor de $400$. Además, $q(z)\geq q(2)=640\gt 0$ para $z\geq 2$ y $q(z)=z(z^2+16)+180z-400\leq -400\lt 0$ para $z\leq 0$. Deducimos que $0\lt y\leq 1$, luego $y=1$ pero entonces $x=\pm 1$ sería racional y hemos probado antes que no lo es. Por tanto, $x^2$ no es racional.

Nota. Quizá puede parecer que nos hemos sacado de la manga el producto $p(x)p(-x)$, pero vamos a intentar justificar el porqué. Para cualquier polinomio $p(x)$, el producto $r(x)=p(x)p(-x)$ es otro polinomio en $x$ pero es par ya que $r(x)=r(-x)$. Esto nos dice que $r(x)$ sólo tiene términos de exponente par y es en lo que nos hemos basado en la solución.

Solución. Podemos escribir la ecuación como \[4x^4-ax^3+bx^2-cx+5=4(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)(x-r_4)=0.\] Desarrollando el producto y comparando el término independiente en ambos polinomios, deducimos que $r_1r_2r_3r_4=\frac{5}{4}$. Aplicando ahora la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica a los números $\frac{r_1}{2}$, $\frac{r_2}{4}$, $\frac{r_3}{5}$ y $\frac{r_4}{8}$, que son reales positivos, llegamos a que \[\frac{1}{4}=\frac{\frac{r_1}{2}+\frac{r_2}{4}+\frac{r_3}{5}+\frac{r_4}{8}}{4}\leq\sqrt[4]{\frac{r_1}{2}\cdot\frac{r_2}{4}\cdot\frac{r_3}{5}\cdot\frac{r_4}{8}}=\sqrt[4]{\frac{r_1r_2r_3r_4}{320}}=\frac{1}{4}.\] Como se da la igualdad, deducimos que estos cuatro números son iguales e iguales a la media, es decir, \[\frac{r_1}{2}=\frac{r_2}{4}=\frac{r_3}{5}=\frac{r_4}{8}=\frac{1}{4}.\] De aquí que $r_1=\frac{1}{2}$, $r_2=1$, $r_3=\frac{5}{4}$ y $r_4=2$.

Solución. Si llamamos $s$ y $t$ a las otras dos raíces, las ecuaciones de Cardano nos dicen que \begin{eqnarray*} a&=&-r-s-t,\\ b&=&rs+st+rt. \end{eqnarray*} De aquí deducimos que \[a^2-2b=(r+s+t)^2-2(rs+st+rt)=r^2+s^2+t^2\geq r^2,\] que es lo que queremos demostrar. Observemos que si se alcanza la igualdad, es decir, $r^2=a^2-2b$ para alguna raíz $r$ del polinomio, entonces las otras dos son cero, es decir, la igualdad se alcanza sólo en los polinomios de la forma $p(x)=x^3-rx^2$.

Nota. Es interesante responder a las siguientes preguntas: ¿Dónde hemos usado que las tres raíces de $p(x)$ son números reales? ¿Por qué el razonamiento no es válido si no fueran reales?

Solución.

Haciendo \(x=y=0\), obtenemos que \(P(0)=P(0)^2\), de donde \(P(0)=1\) o bien \(P(0)=0\). Si \(P(0)=1\), haciendo \(x=y\) en la ecuación original, \(P(2y)=1\) para todo \(y\in\mathbb{R}\), de donde \(P(x)\) es el polinomio constante \(1\).

Si \(P(0)=0\), entonces cero es una raíz de \(P(x)\) y podemos expresar \(P(x)=x^kQ(x)\) para cierto \(k\in\mathbb{N}\) (la multiplicidad de dicha raíz) y cierto polinomio \(Q(x)\) con \(Q(x)\neq 0\). Sustituyendo esta igualdad en la ecuación del enunciado y simplificando, obtenemos que \(Q(x)\) satisface la misma ecuación que \(P(x)\) y, además, \(Q(0)\neq 0\). Por lo que hemos visto en el párrafo anterior, \(Q(x)\) tiene que ser constante \(1\) luego \(P(x)\) es una potencia de \(x\). Deducimos que los polinomios buscados son \(P(x)=1\) y \(P(x)=x^k\) para \(k\in\mathbb{N}\), los cuales cumplen la ecuación como puede comprobarse.

Solución. Supongamos que $P(x)$ cumple la propiedad del enunciado y lleguemos a una contradicción. Como $P(x)$ es un polinomio con coeficientes enteros, $a-b$ divide a $P(a)-P(b)=b-c$. De la misma forma, $b-c$ divide a $P(b)-P(c)=c-a$ y $c-a$ divide a $P(c)-P(a)=a-b$. Esto nos da la cadena de desigualdades \[|a-b|\leq|b-c|\leq|c-a|\leq|a-b|,\] de donde $|a-b|=|b-c|=|c-a|$. Si suponemos que $a\lt b\lt c$ sin perder generalidad, esto nos dice que $b-a=c-b=c-a$ y, claramente se deduce que $a=b=c$, lo cual es una contradicción.