Olimpiadas de Matemáticas
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Problema 1013
Sea $n\geq 2$ un entero. Determinar el menor número real positivo $\gamma$ que cumple el siguiente enunciado:
Para todos los reales $x_1,x_2,\ldots,x_n\gt 0$ y $0\leq y_1,y_2,\ldots,y_n\leq\frac{1}{2}$ tales que \[x_1+x_2+\ldots+x_n=y_1+y_2+\ldots+y_n=1,\] se tiene que \[x_1x_2\cdots x_n\leq\gamma(x_1y_1+x_2y_2+\ldots+x_ny_n).\]
Sin pistas
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Problema 974
Demuestra que
\[(ax + by)^2\leq ax^2 + by^2\]
para cualesquiera $x,y\in\mathbb{R}$ y cualesquiera $a,b\in\mathbb{R}$ con $a+b=1$, $a,b\geq 0$. ¿En qué casos se da la igualdad?
pistasolución 1solución 2info
Pista. Opera con la desigualdad para transformarla en $ab(x-y)^2\geq 0$ o bien aplica la desigualdad de Jensen.
Solución. Desarrollando los términos, la desigualdad equivale a la siguiente:
\[(a-a^2)x^2-2abxy+(b-b^2)y^2\geq 0.\]
Tenemos ahora que $a-a^2=a(1-a)=ab$ y $b-b^2=b(1-b)=ab$, luego la desigualdad anterior a su vez equivale a la siguiente:
\[abx^2-2abxy+aby^2\geq 0\ \Longleftrightarrow\ ab(x-y)^2\geq 0.\]
Como esta última es obviamente cierta, la primera también lo es. Además, la igualdad se alcanza cuando $a=0$ o $b=0$ o $x=y$.
Solución. No es más que la desigualdad de Jensen para la función estrictamente convexa $f(t)=t^2$ con pesos $a$ y $b$. La igualdad se alcanza cuando uno de los pesos es cero o bien cuando los puntos son iguales, es decir, cuando $a=0$ o $b=0$ o $x=y$.
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Problema 963
OME Local, 2014-P11
Sean $x$ e $y$ números reales entre $0$ y $1$. Probar que
\[x^3+xy^2+2xy\leq 2x^2y+x^2+x+y.\]
pistasolución 1info
Pista. Pasa todo al miembro de la derecha y manipula un poco completando algunos cuadrados perfectos.
Solución. Pasando todos los términos al segundo miembro podemos identificar algunos cuadrados perfectos y reescribir la desigualdad como
\[(1-x)(x-y)^2+y(1-y)+x\geq 0.\]
Esta desigualdad es evidente ya que 0\leq x,y\leq 1$.
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Problema 959
Sean $a$ y $b$ números positivos. Probar que
\[a+b\geq \sqrt{ab}+\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}.\]
pistasolución 1info
Pista. Usa la desigualdad entre la media aritmética y la media cuadrática.
Solución. La desigualdad entre las medias aritmética y cuadrática aplicada a $\sqrt{ab}$ y $\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$ nos da
\[\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}}{2}\leq\sqrt{\frac{ab+\frac{a^2+b^2}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2ab+a^2+b^2}{4}}=\frac{a+b}{2},\]
luego tenemos la desigualdad del enunciado.
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Problema 938
En una sala de baile hay $15$ chicos y $15$ chicas dispuestos en dos
filas paralelas para formar parejas de baile. La diferencia de altura entre el chico y la chica de cada pareja no supera los $10\text{cm}$. Demostrar que si colocamos los mismos chicos y chicas en dos filas paralelas en orden creciente de alturas, también sucederá que la diferencia de alturas entre los miembros de las nuevas parejas así formadas no superarán los $10\text{cm}$.
Sin pistas
Sin soluciones
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