Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Desarrollando los términos, la desigualdad equivale a la siguiente: \[(a-a^2)x^2-2abxy+(b-b^2)y^2\geq 0.\] Tenemos ahora que $a-a^2=a(1-a)=ab$ y $b-b^2=b(1-b)=ab$, luego la desigualdad anterior a su vez equivale a la siguiente: \[abx^2-2abxy+aby^2\geq 0\ \Longleftrightarrow\ ab(x-y)^2\geq 0.\] Como esta última es obviamente cierta, la primera también lo es. Además, la igualdad se alcanza cuando $a=0$ o $b=0$ o $x=y$.

Solución. No es más que la desigualdad de Jensen para la función estrictamente convexa $f(t)=t^2$ con pesos $a$ y $b$. La igualdad se alcanza cuando uno de los pesos es cero o bien cuando los puntos son iguales, es decir, cuando $a=0$ o $b=0$ o $x=y$.

Solución. Pasando todos los términos al segundo miembro podemos identificar algunos cuadrados perfectos y reescribir la desigualdad como \[(1-x)(x-y)^2+y(1-y)+x\geq 0.\] Esta desigualdad es evidente ya que 0\leq x,y\leq 1$.

Solución. La desigualdad entre las medias aritmética y cuadrática aplicada a $\sqrt{ab}$ y $\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$ nos da \[\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}}{2}\leq\sqrt{\frac{ab+\frac{a^2+b^2}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2ab+a^2+b^2}{4}}=\frac{a+b}{2},\] luego tenemos la desigualdad del enunciado.

Solución. Usando que $abc=1$ y la hipótesis de que la suma de los números es mayor que la de la suma de sus recíprocos (inversos multiplicativos), podemos escribir \begin{align*} 0&\lt a+b+c-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}=a+b+\frac{1}{ab}-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-ab\\ &=\frac{a^2b+ab^2+1-b-a-a^2b^2}{ab}=\frac{(a-1)(b-1)(1-ab)}{ab}\\ &=(a-1)(b-1)(\tfrac{1}{ab}-1)=(a-1)(b-1)(c-1). \end{align*} Esta desigualdad estricta nos dice que ninguno de los números puede ser igual a $1$. Para que el producto de los signos en $(a-1)(b-1)(c-1)$ sea positivo, exactamente uno de los tres números debe ser mayor que $1$ (si los tres números son mayores que $1$, entonces el producto también sería positivo pero tendríamos $abc\gt 1$, en contra de lo que nos dice el enunciado).