Dados $a,b,c$ números reales positivos tales que $abc=1$, demostrar que
\[\left(\frac{a}{1+ab}\right)^2+\left(\frac{b}{1+bc}\right)^2+\left(\frac{c}{1+ca}\right)^2\geq\frac{3}{4}.\]
Solución. La condición $abc=1$ puede eliminarse si escribimos $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$, siendo ahora $x,y,z\gt 0$ reales positivos arbitrarios. Esto nos permite escribir la desigualdad a probar como
\[\left(\frac{zx}{yz+xy}\right)^2+\left(\frac{xy}{zx+yz}\right)^2+\left(\frac{yz}{xy+zx}\right)^2\geq\frac{3}{4}.\]
Por un lado, la desigualdad entre las medias aritmética y cuadrática nos da
\[\left(\frac{zx}{yz+xy}\right)^2+\left(\frac{xy}{zx+yz}\right)^2+\left(\frac{yz}{xy+zx}\right)^2\geq\frac{1}{3}\left(\frac{zx}{yz+xy}+\frac{xy}{zx+yz}+\frac{yz}{xy+zx}\right)^2.\]
Por otro lado, por la desigualdad de Nesbitt (véase la nota), tenemos que
\[\frac{zx}{yz+xy}+\frac{xy}{zx+yz}+\frac{yz}{xy+zx}\geq\frac{3}{2}.\]
Combinando estas dos desigualdades, obtenemos la del enunciado.
Nota. La desigualdad de Nesbitt nos dice que
\[\frac{A}{B+C}+\frac{B}{C+A}+\frac{C}{A+B}\geq\frac{3}{2}\]
para cualesquiera reales positivos $A,B,C$. La igualdad se tiene cuando $A=B=C$. En nuestro caso, la hemos aplicado para $A=zx$, $B=xy$ y $C=yz$, luego si la igualdad se alcanza, se tiene que $x=y=z$. Esto nos lleva a que la igualdad en la desigualdad original se tiene sólo para $a=b=c=1$.