Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. La situación es como se indica en la figura. Como dentro del mismo medio (agua o tierra) la menor distancia la realiza la línea recta, el camino óptimo recorrerá un trayecto rectilíneo en agua y otro rectilíneo en tierra (podemos suponer que el trayecto sobre el agua se realiza al principio sin perder generalidad). En cualquier caso, llamando a $x$ la distancia indicada en la figura, recorreremos $500-x$ en tierra y $\sqrt{10000+x^2}$ por agua según el teorema de Pitágoras. Dados los costes del enunciado, la función que nos da el coste total viene dada por \[f(x)=9(500-x)+15\sqrt{10000+x^2}.\] El mínimo de esta función se puede obtener haciendo $f'(x)=0$, pero vamos a razonar sin derivadas. Para ello, vamos a considerar la ecuación $f(x)=a$ para cierto valor $a$. Podemos desarrollar \begin{align*} f(x)=a&\ \Leftrightarrow\ 4500-9x-a=15\sqrt{10000+x^2}\\ &\ \Leftrightarrow\ (4500-9x-a)^2=225(10000+x^2). \end{align*} Desarrollando y usando la fórmula para la ecuación de segundo grado, tenemos que \[x=\frac{3a-13500\pm 5\sqrt{18810000-9000a+a^2}}{48}.\] Esta expresión nos dice que habrá valores de $x$ tales $f(x)=a$ si $18810000-9000a+a^2=(a-3300)(a-5700)\geq 0$. Como $a\leq 3300$ nos da valores negativos de $x$, deducimos de esta desigualdad que $a\geq 5700$, lo que nos da $x\geq 75$ para la solución de la ecuación de segundo grado con signo $+$. En definitiva, el valor mínimo ocurre para $x=75$ y su coste es $5700$ euros. Esto nos da una longitud (en metros) de \[500-x+\sqrt{100^2+x^2}=425+\sqrt{100^2+75^2}=425+25\sqrt{4^2+3^2}=550.\]

Solución. Si le aplicamos la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica a los diez sumandos del miembro de la izquierda, tenemos que \[\tfrac{a^2+b^2+c^2+d^2+ab+ac+ad+bc+bd+cd}{10}\geq\sqrt[10]{a^2b^2c^2abacadbcbdcd}=\sqrt[10]{a^5b^5c^5d^5}=1,\] de donde deducimos de forma inmediata la desigualdad propuesta.

Nota. Si se alcanza la igualdad, entonces $a^2=b^2=c^2=d^2$, luego $a=b=c=d$ por ser números positivos y, como su producto es $1$, los cuatro números tienen que ser iguales a $1$. Recíprocamente, si los cuatro números son iguales a $1$, la igualdad se alcanza, luego este es la única situación en la que se alcanza.

Solución. Para probar la primera desigualdad, vamos a aplicar la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica a los números $x_1=x_2=\ldots=x_n=\frac{1}{n}$ y $x_{n+1}=\frac{1}{n+1}$. Como no todos estos números son iguales, tendremos una desigualdad estricta: \begin{align*} \sqrt[n+1]{\frac{1}{n}\cdots\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n+1}}\lt \frac{\frac{1}{n}+\ldots+\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}}{n+1}&\Longleftrightarrow \sqrt[n+1]{\frac{1}{n^n(n+1)}}\lt \frac{1+\frac{1}{n+1}}{n+1}\\ &\Longleftrightarrow \frac{1}{n^n(n+1)}\lt \frac{1}{(n+1)^{n+1}}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\\ &\Longleftrightarrow \left(\frac{n+1}{n}\right)^n\lt\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}, \end{align*} que es la desgiualdad que buscamos.

En cuanto a la segunda desigualdad, desarrollamos por el binomio de Newton \begin{align*} \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}&=\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}\frac{1}{(n+1)^k}=2+\sum_{k=2}^{n+1}\frac{(n+1)n\cdots(n-k+2)}{k!(n+1)^k}\\ &\leq 2+\sum_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k!}\leq 2+\sum_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k(k-1)}\\ &\leq 2+\sum_{k=2}^{n+1}\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right)=3-\frac{1}{n+1}\lt 3. \end{align*} En primer lugar, hemos usado que cada uno de los factores en $(n+1)n\cdots(n-k+2)$ es menor o igual que $n+1$. Después hemos despreciado todos los factores de $k!$ salvo los dos primeros. Finalmente, hemos expresado la suma como una suma telescópica para poder obtener su valor explícito.

Solución. La desigualdad de Jensen con pesos $x,y\geq 0$ tales que $x+y=1$, nos dice que si $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es una función estrictamente convexa, entonces \[f(ax+by)\leq xf(a)+yf(b).\] ya que, en el intervalo $[a,b]$, la gráfica de la función se queda por debajo del segmento de recta que une los puntos $(a,f(a)$ y $(b,f(b))$. Ahora bien, fuera del intervalo $[a,b]$, la gráfica se queda por encima de la recta, lo que nos dice que, para $x,y\in\mathbb{R}$ tales que $x+y=1$, si uno de estos dos números es negativo, se cumple la desigualdad contraria: \[f(ax+by)\gt xf(a)+yf(b).\] Por ser un poco más explícitos en este punto, basta mirar la figura y tener en cuenta que:

• Si $x+y=1$ y $a\lt b$, entonces el número $ax+by$ está entre $a$ y $b$ para $x,y\geq 0$, a la derecha de $b$ para $x\lt 0$ y a la izquierda de $a$ para $y\lt 0$.
• $f(ax+by)$ es el valor de la función en $ax+by$.
• $xf(a)+yf(b)$ es el valor de la recta en $ax+by$.

Aplicando este razonamiento a las funciones $f(t)=t^2$ y $f(t)=t^4$, que son ambas estrictamente convexas, deducimos que el conjunto de soluciones son los puntos $(x,y)$ que cumplen $x,y\geq 0$ y $x+y=1$. En otras palabras, son los puntos del segmento que une $(1,0)$ y $(0,1)$ en el plano.