Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Procedamos por inducción sobre $n$. Para el caso base $n=1$, se cumple la igualdad: $$\binom{2n}{n}=\binom{2}{1}=2=\frac{4}{2}=\frac{4^n}{n+1}.$$ Supongamos entonces que la desigualdad es cierta para $n$ y veamos qué ocurre para $n+1$. Usando la hipótesis de inducción, tenemos que \begin{align*} \binom{2(n+1)}{n+1}&=\frac{(2n+2)!}{((n+1)!)^2}=\frac{(2n+2)(2n+1)(2n)!}{(n+1)^2(n!)^2}=\frac{2(2n+1)}{n+1}\binom{2n}{n}>\frac{(2n+1)4^{n+1}}{(n+1)^2}. \end{align*} Ahora sólo falta ver que $\frac{2n+1}{(n+1)^2}\geq\frac{1}{n+2}$, lo que equivale a que $(2n+1)(n+2)\geq (n+1)^2$, esto es, $n^2+n+1\geq 0$. Ya hemos terminado porque esta última igualdad es claramente cierta (es la suma de tres números positivos).

Como la desigualdad $n^2+n+1\gt 0$ es realmente estricta, deducimos que no puede haber igualdad para ningún $n\geq 2$, luego la igualdad se alcanza sólo para $n=1$.

Solución. El hecho de que el coeficiente del término de grado $n-1$ sea igual a $n$ nos dice que la suma de las raíces es $r_1+\ldots+r_n=-n$ (por las relaciones de Cardano-Vieta). La desigualdad de Cauchy-Schwarz aplicada a los vectores $(r_1,r_2,\ldots,r_n)$ y $(1,1,\ldots,1)$ nos dice que $$n^2=(r_1+r_2+\ldots+r_n)^2\leq n(r_1^{2}+r_2^2+\ldots+r_n^2)$$ luego deducimos que $r_1^{2}+r_2^2+\ldots+r_n^2\geq n$. Volvemos a aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz para obtener que $$n^2\leq(r_1^2+r_2+\ldots+r_n^2)^2\leq n(r_1^{4}+r_2^2+\ldots+r_n^4),$$ de donde ahora deducimos que $r_1^{4}+r_2^4+\ldots+r_n^4\geq n$. Repitiendo el proceso dos veces más, tenemos que \begin{align*} n^2\leq(r_1^4+r_2^4+\ldots+r_n^4)^2\leq n(r_1^{8}+r_2^{8}+\ldots+r_n^8)\\ n^2\leq(r_1^8+r_2^8+\ldots+r_n^8)^2\leq n(r_1^{16}+r_2^{16}+\ldots+r_n^{16}),\\ \end{align*} luego $r_1^{16}+r_2^{16}+\ldots+r_n^{16}\geq n$. El enunciado nos dice que se da la igualdad en esta desigualdad, luego también se debe dar en cada desigualdad de Cauchy-Schwarz, lo que nos dice que todos las raíces $r_1,\ldots,r_n$ son iguales. Como su suma es $-n$, llegamos finalmente a que $r_1=r_2=\ldots=r_n=-1$.

Solución. Como $x+y+z=4$, puede ocurrir que uno o dos de los números $x,y,z$ sean negativos. Si uno de ellos es negativo, entonces el miembro de la izquierda de la desigualdad es negativo y la desigualdad se cumple trivialmente. Si dos de estos números son negativos, entonces podemos cambiar ambos de signo y la desigualdad no cambia. Además, si $xyz=0$, entonces la desigualdad también se cumple, por lo que podemos suponer sin perder generalidad que $x,y,z\gt 0$.

Consideremos la función $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ definida por $f(x)=\log\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$. Sus derivadas vienen dadas por \[f'(x)=\frac{1}{x(x^2+1)},\qquad f''(x)=\frac{-3x^2-1}{x^2(x^2+1)^2}.\] Como $f''(x)<0$ para todo $x>0$, deducimos que $f$ es una función cóncava, luego aplicando la desigualdad de Jensen obtenemos que \begin{eqnarray} \frac{1}{3}\log\left(\frac{xyz}{\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)}}\right)&=&\frac{f(x)+f(y)+f(z)}{3}\\ &\leq& f\left(\frac{x+y+z}{3}\right)=f\left(\frac{4}{3}\right)=\log\left(\frac{4}{5}\right). \end{eqnarray} Tomando exponenciales en ambos miembros, deducimos la desigualdad del enunciado.

Nota. Como la función $f$ es estrictamente convexa, la igualdad se alcanzará si, y sólo si, $x=y=z=\frac{4}{3}$.

Solución. La desigualdad no cambia al invertir los papeles de $x$ e $y$, luego podemos suponer que $x\leq y$. Además, si $x$ e $y$ tienen distinto signo, se alcanza la igualdad luego podemos suponer que $x$ e $y$ tienen el mismo signo. Cambiando ambos de signo tampoco se altera la desigualdad, luego podemos suponer que $0\leq y\leq x$. En tal caso, la desigualdad a probar se traduce en \[\frac{x-y}{1-xy}\leq\frac{x+y}{1+xy}.\] Esta desigualdad se sigue del siguiente desarrollo: \[\frac{x-y}{1-xy}-\frac{x+y}{1+xy}=\frac{-2y(1-x^2)}{1-x^2y^2}\leq 0.\]

Nota. De este razonamiento se deduce que la igualdad es cierta cuando $x$ e $y$ tienen distinto signo o bien alguno de los dos es igual a cero.

Solución. Dados $a,b\in\mathbb{R}$, la tangente hiperbólica cumple que \[\tanh(a\pm b)=\frac{\mathrm{tanh}(a)\pm \mathrm{tanh}(b)}{1\pm \mathrm{tanh}(a)\mathrm{tanh}(b)},\qquad |\mathrm{tanh}(a)|=\mathrm{tanh}|a|.\] Por tanto, el cambio de variable $x=\mathrm{tanh}(t)$ e $y=\mathrm{tanh}(s)$ transforma la desigualdad del enunciado en \[\mathrm{tanh}|t-s|\leq\mathrm{tanh}(|t|+|s|).\] para $t,s\in\mathbb{R}$. Como la tangente hiperbólica es una función creciente, basta comprobar que $|t-s|\leq|t|+|s|$, pero esto es una consecuencia inmediata de la desigualdad triangular.

Solución. Consideremos un cuarto de circunferencia donde hemos representado los valores de $x,y,z$ como ángulos tal y como muestra la figura. Entonces, el área del rectángulo rojo está dada por $\cos(z)\mathrm{sen}(z)=\frac{1}{2}\mathrm{sen}(2z)$, el área del rectángulo verde por $(\cos(y)-\cos(z))\mathrm{sen}(y)=\frac{1}{2}\mathrm{sen}(2y)-\mathrm{sen}(z)\cos(y)$ y la del rectángulo azul por $(\cos(x)-\cos(y))\mathrm{sen}(x)=\frac{1}{2}\mathrm{sen}(2x)-\mathrm{sen}(x)\cos(y)$. Entre todas suman menos que el área del cuarto de círculo $\frac{\pi}{4}$, de donde claramente se deduce la desigualdad del enunciado.