Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. El hecho de que el coeficiente del término de grado $n-1$ sea igual a $n$ nos dice que la suma de las raíces es $r_1+\ldots+r_n=-n$ (por las relaciones de Cardano-Vieta). La desigualdad de Cauchy-Schwarz aplicada a los vectores $(r_1,r_2,\ldots,r_n)$ y $(1,1,\ldots,1)$ nos dice que $$n^2=(r_1+r_2+\ldots+r_n)^2\leq n(r_1^{2}+r_2^2+\ldots+r_n^2)$$ luego deducimos que $r_1^{2}+r_2^2+\ldots+r_n^2\geq n$. Volvemos a aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz para obtener que $$n^2\leq(r_1^2+r_2+\ldots+r_n^2)^2\leq n(r_1^{4}+r_2^2+\ldots+r_n^4),$$ de donde ahora deducimos que $r_1^{4}+r_2^4+\ldots+r_n^4\geq n$. Repitiendo el proceso dos veces más, tenemos que \begin{align*} n^2\leq(r_1^4+r_2^4+\ldots+r_n^4)^2\leq n(r_1^{8}+r_2^{8}+\ldots+r_n^8)\\ n^2\leq(r_1^8+r_2^8+\ldots+r_n^8)^2\leq n(r_1^{16}+r_2^{16}+\ldots+r_n^{16}),\\ \end{align*} luego $r_1^{16}+r_2^{16}+\ldots+r_n^{16}\geq n$. El enunciado nos dice que se da la igualdad en esta desigualdad, luego también se debe dar en cada desigualdad de Cauchy-Schwarz, lo que nos dice que todos las raíces $r_1,\ldots,r_n$ son iguales. Como su suma es $-n$, llegamos finalmente a que $r_1=r_2=\ldots=r_n=-1$.

Solución. Como $x+y+z=4$, puede ocurrir que uno o dos de los números $x,y,z$ sean negativos. Si uno de ellos es negativo, entonces el miembro de la izquierda de la desigualdad es negativo y la desigualdad se cumple trivialmente. Si dos de estos números son negativos, entonces podemos cambiar ambos de signo y la desigualdad no cambia. Además, si $xyz=0$, entonces la desigualdad también se cumple, por lo que podemos suponer sin perder generalidad que $x,y,z\gt 0$.

Consideremos la función $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ definida por $f(x)=\log\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$. Sus derivadas vienen dadas por \[f'(x)=\frac{1}{x(x^2+1)},\qquad f''(x)=\frac{-3x^2-1}{x^2(x^2+1)^2}.\] Como $f''(x)<0$ para todo $x>0$, deducimos que $f$ es una función cóncava, luego aplicando la desigualdad de Jensen obtenemos que \begin{eqnarray} \frac{1}{3}\log\left(\frac{xyz}{\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)}}\right)&=&\frac{f(x)+f(y)+f(z)}{3}\\ &\leq& f\left(\frac{x+y+z}{3}\right)=f\left(\frac{4}{3}\right)=\log\left(\frac{4}{5}\right). \end{eqnarray} Tomando exponenciales en ambos miembros, deducimos la desigualdad del enunciado.

Nota. Como la función $f$ es estrictamente convexa, la igualdad se alcanzará si, y sólo si, $x=y=z=\frac{4}{3}$.

Solución. La desigualdad no cambia al invertir los papeles de $x$ e $y$, luego podemos suponer que $x\leq y$. Además, si $x$ e $y$ tienen distinto signo, se alcanza la igualdad luego podemos suponer que $x$ e $y$ tienen el mismo signo. Cambiando ambos de signo tampoco se altera la desigualdad, luego podemos suponer que $0\leq y\leq x$. En tal caso, la desigualdad a probar se traduce en \[\frac{x-y}{1-xy}\leq\frac{x+y}{1+xy}.\] Esta desigualdad se sigue del siguiente desarrollo: \[\frac{x-y}{1-xy}-\frac{x+y}{1+xy}=\frac{-2y(1-x^2)}{1-x^2y^2}\leq 0.\]

Nota. De este razonamiento se deduce que la igualdad es cierta cuando $x$ e $y$ tienen distinto signo o bien alguno de los dos es igual a cero.

Solución. Dados $a,b\in\mathbb{R}$, la tangente hiperbólica cumple que \[\tanh(a\pm b)=\frac{\mathrm{tanh}(a)\pm \mathrm{tanh}(b)}{1\pm \mathrm{tanh}(a)\mathrm{tanh}(b)},\qquad |\mathrm{tanh}(a)|=\mathrm{tanh}|a|.\] Por tanto, el cambio de variable $x=\mathrm{tanh}(t)$ e $y=\mathrm{tanh}(s)$ transforma la desigualdad del enunciado en \[\mathrm{tanh}|t-s|\leq\mathrm{tanh}(|t|+|s|).\] para $t,s\in\mathbb{R}$. Como la tangente hiperbólica es una función creciente, basta comprobar que $|t-s|\leq|t|+|s|$, pero esto es una consecuencia inmediata de la desigualdad triangular.

Solución. Consideremos un cuarto de circunferencia donde hemos representado los valores de $x,y,z$ como ángulos tal y como muestra la figura. Entonces, el área del rectángulo rojo está dada por $\cos(z)\mathrm{sen}(z)=\frac{1}{2}\mathrm{sen}(2z)$, el área del rectángulo verde por $(\cos(y)-\cos(z))\mathrm{sen}(y)=\frac{1}{2}\mathrm{sen}(2y)-\mathrm{sen}(z)\cos(y)$ y la del rectángulo azul por $(\cos(x)-\cos(y))\mathrm{sen}(x)=\frac{1}{2}\mathrm{sen}(2x)-\mathrm{sen}(x)\cos(y)$. Entre todas suman menos que el área del cuarto de círculo $\frac{\pi}{4}$, de donde claramente se deduce la desigualdad del enunciado.

Solución. La desigualdad entre las medias aritmética y geométrica nos asegura que \[a_1\cdot a_2\cdots a_n\leq\left(\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}\right)^n=\frac{10^n}{n^n}.\] Es importante darse cuenta de que la igualdad se alcanza para $a_1=a_2=\ldots=a_n=\frac{10}{n}$, luego para cada valor de $n$ el máximo será precisamente $\frac{10^n}{n^n}$ y será suficiente maximizar esta cantidad. Esto es equivalente a encontrar el máximo de la función \[f:(0,\infty)\to\mathbb{R},\qquad f(x)=\left(\frac{10}{x}\right)^x\] sobre los números naturales. La derivada de $f$ viene dada por \[f'(x)=\left(\frac{10}{x}\right)^x\left(-1+\log\frac{10}{x}\right),\] que se anula sólo en el valor $x=\frac{10}{e}$. Además, $f'(x)\gt 0$ en el intervalo $(0,\frac{10}{e})$ y $f'(x)\lt 0$ en el intervalo $(\frac{10}{e},\infty)$, lo que nos dice que el máximo de $f$ sobre los números naturales ha de ser el entero más cercano por defecto o por exceso a $\frac{10}{e}\approx 3,\!68$, es decir, el valor que buscamos es $n=3$ ó $n=4$. Como quiera que $f(3)=(\frac{10}{3})^3$ y $f(4)=(\frac{10}{4})^4$, es fácil probar que $f(3)\lt f(4)$ (los detalles se dejan al lector), de donde deducimos que el máximo se alcanza para $n=4$ y para $a_1=a_2=a_3=a_4=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}$. Por tanto, el mayor valor del producto es $f(4)=\frac{625}{16}$, que es lo que se pide en el enunciado.