Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. La desigualdad entre las medias aritmética y geométrica nos asegura que \[a_1\cdot a_2\cdots a_n\leq\left(\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}\right)^n=\frac{10^n}{n^n}.\] Es importante darse cuenta de que la igualdad se alcanza para $a_1=a_2=\ldots=a_n=\frac{10}{n}$, luego para cada valor de $n$ el máximo será precisamente $\frac{10^n}{n^n}$ y será suficiente maximizar esta cantidad. Esto es equivalente a encontrar el máximo de la función \[f:(0,\infty)\to\mathbb{R},\qquad f(x)=\left(\frac{10}{x}\right)^x\] sobre los números naturales. La derivada de $f$ viene dada por \[f'(x)=\left(\frac{10}{x}\right)^x\left(-1+\log\frac{10}{x}\right),\] que se anula sólo en el valor $x=\frac{10}{e}$. Además, $f'(x)\gt 0$ en el intervalo $(0,\frac{10}{e})$ y $f'(x)\lt 0$ en el intervalo $(\frac{10}{e},\infty)$, lo que nos dice que el máximo de $f$ sobre los números naturales ha de ser el entero más cercano por defecto o por exceso a $\frac{10}{e}\approx 3,\!68$, es decir, el valor que buscamos es $n=3$ ó $n=4$. Como quiera que $f(3)=(\frac{10}{3})^3$ y $f(4)=(\frac{10}{4})^4$, es fácil probar que $f(3)\lt f(4)$ (los detalles se dejan al lector), de donde deducimos que el máximo se alcanza para $n=4$ y para $a_1=a_2=a_3=a_4=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}$. Por tanto, el mayor valor del producto es $f(4)=\frac{625}{16}$, que es lo que se pide en el enunciado.

Solución. La desigualdad de Cauchy-Schwarz nos asegura que \[\left(\sum_{k=1}^n\sqrt{x_k}\right)\left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{1+x_k}}\right)\leq\left(\sum_{k=1}^n\sqrt[4]{\frac{x_k}{x_k+1}}\right)^2.\] Consideremos la función \[f:[0,+\infty)\to\mathbb{R},\qquad f(x)=\sqrt[4]{\frac{x}{x+1}}.\] No es difícil calcular las dos primeras derivadas de $f$, que vienen dadas por \[f’(x)=\frac{1}{4}x^{-3/4}(x+1)^{-5/4},\qquad -\frac{-1}{16}(8x+3)x^{-7/4}(x+1)^{-9/4}<0,\] luego $f$ es una función cóncava en $[0,+\infty)$. La desigualdad de Jensen nos dice que \[\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\sqrt[4]{\frac{x_k}{x_k+1}}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nf(x_k)\leq f\left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n x_k\right)=\sqrt[4]{\frac{\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nx_k}{1+\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nx_k}}=\frac{1}{\sqrt[4]{n+1}}.\] Elevando al cuadrado esta última expresión y sustituyendo en la primera desigualdad, obtenemos la desigualdad del enunciado.

Observemos que, al haber aplicado la desigualdad de Jensen para una función estrictamente convexa, si la igualdad se alcanza, entonces $x_1=x_2=\ldots=x_n$. La condición $x_1+x_2+\ldots+x_n=1$ ahora nos dice que todos los números han de ser iguales a $\frac{1}{n}$. Es fácil comprobar que para $x_1=\ldots=x_n=\frac{1}{n}$ tenemos igualdad, luego éste es el único caso en que ésta se alcanza.

Solución. Consideremos el cambio de variables siguiente: \begin{eqnarray*} x&=&b+2c+3d,\\ y&=&c+2d+3a,\\ z&=&d+2a+3b,\\ w&=&a+2b+3c. \end{eqnarray*} No es difícil resolver este sistema de ecuaciones lineales (que es compatible determinado) y despejar $(a,b,c,d)$ en términos de $(x,y,z,w)$, obteniendo \begin{eqnarray*} a&=&\frac{1}{24}(w-5x+7y+z),\\ b&=&\frac{1}{24}(w+x-5y+7z),\\ c&=&\frac{1}{24}(7w+x+y-5z),\\ d&=&\frac{1}{24}(-5w+7x+y+z). \end{eqnarray*} Sustituyendo y simplificando en la ecuación original, ésta se escribe como \[\frac{w+7y+z}{x}+\frac{x+7z+w}{y}+\frac{y+7w+x}{z}+\frac{z+7x+y}{w}\geq 36.\] Aquí es importante darse cuenta de que las nuevas variables $x,y,z,w$ son positivas, luego será suficiente demostrar esta desigualdad para cualesquiera $x,y,z,w\gt 0$. Podemos agrupar los términos anteriores para escribirla de la siguiente forma: \[\left(\frac{w}{x}+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{w}\right)+7\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{w}{z}+\frac{y}{w}\right)+\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)+\left(\frac{w}{y}+\frac{y}{w}\right)\geq 36.\] El primer y segundo paréntesis son la suma de cuatro números cuyo producto es la unidad, luego cada uno de estos paréntesis es mayor que $4$ por la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica. Por otro lado, los últimos dos paréntesis son mayores o iguales que $2$ por el mismo motivo, luego la desigualdad es cierta para cualesquiera $x,y,z,w\gt 0$, como queríamos probar.

Nota. En el cambio de $(a,b,c,d)$ a $(x,y,z,w)$, hemos asegurado que $a,b,c,d\gt 0$ implica que $x,y,z,w\gt 0$, lo cual es suficiente para resolver el problema. La implicación opuesta no es cierta en general, es decir, pudiera ser que $x,y,z,w\gt 0$ mientras que alguno de los números $a,b,c,d$ fuera menor o igual que cero. Por tanto, la desigualdad que hemos demostrado con $(x,y,z,w)$ es más general que la desigualdad original con $(a,b,c,d)$.

De la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica se deduce fácilmente que la igualdad se alcanza si, y sólo si, $x=y=z=w$. Esto, a su vez, es equivalente a que $a=b=c=d$.

Solución. Haciendo el cambio $x=\frac{1}{a}$, $y=\frac{1}{b}$, $z=\frac{1}{c}$, podemos reescribir la desigualdad del enunciado como \[\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\geq\frac{3}{2}.\] La desigualdad de Cauchy-Schwarz nos dice que \[((y+z)+(x+z)+(x+y))\left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\right)\geq (x+y+z)^2.\] De esta desigualdad y de la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica, obtenemos que \[\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\geq\frac{x+y+z}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\frac{3}{2}\]

Nota. La misma solución se puede seguir sin el cambio de variable, aunque con él puede que sea más sencillo encontrar la forma de aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

Solución. La función seno es cóncava en el intervalo $[0,\pi]$ donde se mueven los ángulos de un triángulo, por lo que la desigualdad de Jensen nos asegura que \[\frac{\sin(\alpha)+\sin(\beta)+\sin(\gamma)}{3}\leq\sin\left(\frac{\alpha+\beta+\gamma}{3}\right)=\sin(60º)=\frac{\sqrt{3}}{2}.\] Como la función es estrictamente convexa (su gráfica no contiene segmentos rectilíneos), deducimos que la igualdad se alcanza cuando $\alpha=\beta=\gamma$, es decir, cuando el triángulo es equilátero.