Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. La desigualdad de Cauchy-Schwarz nos asegura que \[\left(\sum_{k=1}^n\sqrt{x_k}\right)\left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{1+x_k}}\right)\leq\left(\sum_{k=1}^n\sqrt[4]{\frac{x_k}{x_k+1}}\right)^2.\] Consideremos la función \[f:[0,+\infty)\to\mathbb{R},\qquad f(x)=\sqrt[4]{\frac{x}{x+1}}.\] No es difícil calcular las dos primeras derivadas de $f$, que vienen dadas por \[f’(x)=\frac{1}{4}x^{-3/4}(x+1)^{-5/4},\qquad -\frac{-1}{16}(8x+3)x^{-7/4}(x+1)^{-9/4}<0,\] luego $f$ es una función cóncava en $[0,+\infty)$. La desigualdad de Jensen nos dice que \[\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\sqrt[4]{\frac{x_k}{x_k+1}}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nf(x_k)\leq f\left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n x_k\right)=\sqrt[4]{\frac{\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nx_k}{1+\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nx_k}}=\frac{1}{\sqrt[4]{n+1}}.\] Elevando al cuadrado esta última expresión y sustituyendo en la primera desigualdad, obtenemos la desigualdad del enunciado.

Observemos que, al haber aplicado la desigualdad de Jensen para una función estrictamente convexa, si la igualdad se alcanza, entonces $x_1=x_2=\ldots=x_n$. La condición $x_1+x_2+\ldots+x_n=1$ ahora nos dice que todos los números han de ser iguales a $\frac{1}{n}$. Es fácil comprobar que para $x_1=\ldots=x_n=\frac{1}{n}$ tenemos igualdad, luego éste es el único caso en que ésta se alcanza.

Solución. Consideremos el cambio de variables siguiente: \begin{eqnarray*} x&=&b+2c+3d,\\ y&=&c+2d+3a,\\ z&=&d+2a+3b,\\ w&=&a+2b+3c. \end{eqnarray*} No es difícil resolver este sistema de ecuaciones lineales (que es compatible determinado) y despejar $(a,b,c,d)$ en términos de $(x,y,z,w)$, obteniendo \begin{eqnarray*} a&=&\frac{1}{24}(w-5x+7y+z),\\ b&=&\frac{1}{24}(w+x-5y+7z),\\ c&=&\frac{1}{24}(7w+x+y-5z),\\ d&=&\frac{1}{24}(-5w+7x+y+z). \end{eqnarray*} Sustituyendo y simplificando en la ecuación original, ésta se escribe como \[\frac{w+7y+z}{x}+\frac{x+7z+w}{y}+\frac{y+7w+x}{z}+\frac{z+7x+y}{w}\geq 36.\] Aquí es importante darse cuenta de que las nuevas variables $x,y,z,w$ son positivas, luego será suficiente demostrar esta desigualdad para cualesquiera $x,y,z,w\gt 0$. Podemos agrupar los términos anteriores para escribirla de la siguiente forma: \[\left(\frac{w}{x}+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{w}\right)+7\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{w}{z}+\frac{y}{w}\right)+\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)+\left(\frac{w}{y}+\frac{y}{w}\right)\geq 36.\] El primer y segundo paréntesis son la suma de cuatro números cuyo producto es la unidad, luego cada uno de estos paréntesis es mayor que $4$ por la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica. Por otro lado, los últimos dos paréntesis son mayores o iguales que $2$ por el mismo motivo, luego la desigualdad es cierta para cualesquiera $x,y,z,w\gt 0$, como queríamos probar.

Nota. En el cambio de $(a,b,c,d)$ a $(x,y,z,w)$, hemos asegurado que $a,b,c,d\gt 0$ implica que $x,y,z,w\gt 0$, lo cual es suficiente para resolver el problema. La implicación opuesta no es cierta en general, es decir, pudiera ser que $x,y,z,w\gt 0$ mientras que alguno de los números $a,b,c,d$ fuera menor o igual que cero. Por tanto, la desigualdad que hemos demostrado con $(x,y,z,w)$ es más general que la desigualdad original con $(a,b,c,d)$.

De la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica se deduce fácilmente que la igualdad se alcanza si, y sólo si, $x=y=z=w$. Esto, a su vez, es equivalente a que $a=b=c=d$.

Solución. Haciendo el cambio $x=\frac{1}{a}$, $y=\frac{1}{b}$, $z=\frac{1}{c}$, podemos reescribir la desigualdad del enunciado como \[\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\geq\frac{3}{2}.\] La desigualdad de Cauchy-Schwarz nos dice que \[((y+z)+(x+z)+(x+y))\left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\right)\geq (x+y+z)^2.\] De esta desigualdad y de la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica, obtenemos que \[\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\geq\frac{x+y+z}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\frac{3}{2}\]

Nota. La misma solución se puede seguir sin el cambio de variable, aunque con él puede que sea más sencillo encontrar la forma de aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

Solución. La función seno es cóncava en el intervalo $[0,\pi]$ donde se mueven los ángulos de un triángulo, por lo que la desigualdad de Jensen nos asegura que \[\frac{\sin(\alpha)+\sin(\beta)+\sin(\gamma)}{3}\leq\sin\left(\frac{\alpha+\beta+\gamma}{3}\right)=\sin(60º)=\frac{\sqrt{3}}{2}.\] Como la función es estrictamente convexa (su gráfica no contiene segmentos rectilíneos), deducimos que la igualdad se alcanza cuando $\alpha=\beta=\gamma$, es decir, cuando el triángulo es equilátero.

Solución. Consideremos la función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definida por \[f(t)=\frac{1}{1+e^t}.\] Es fácil calcular sus derivadas, que vienen dadas por \[f'(t)=\frac{-e^t}{(1+e^t)^2},\qquad f''(t)=\frac{e^t(e^t-1)}{(e^t+1)^3}.\] De aquí deducimos que $f''(t)\gt 0$ para todo $t\gt 0$, luego $f$ es una función estrictamente convexa sobre los reales positivos. La desigualdad de Jensen nos asegura entonces que \[\frac{1}{n}\left(\frac{1}{1+e^{t_1}}+\frac{1}{1+e^{t_2}}+\ldots+\frac{1}{1+e^{t_n}}\right)\geq\frac{1}{1+e^{\frac{t_1+t_2+\ldots+t_n}{n}}},\] para cualesquiera $t_1,\ldots,t_n\geq 0$. Si ahora hacemos el cambio de variable \[t_1=\log(x_1),\ t_2=\log(x_2),\ ...,\ t_n=\log(x_n),\] (aquí es importante que $x_1,\ldots,x_n\geq 1$), obtenemos la desigualdad del enunciado.

Nota. Sólo hemos aplicado la desigualdad de Jensen, luego la igualdad en la desigualdad del enunciado se alcanza cuando se alcance en la de Jensen. Como la función $f$ es estrictamente convexa, deducimos que la igualdad en la desigualdad de Jensen se alcanza si, y sólo si, $t_1=t_2=\ldots=t_n$, es decir, cuando $x_1=x_2=\ldots=x_n$.