Dados números reales $x,y,z>0$ tales que $xyz=1$, demostrar que
\[\frac{x^3}{(1+y)(1+z)}+\frac{y^3}{(1+z)(1+x)}+\frac{z^3}{(1+x)(1+y)}\geq\frac{3}{4}.\]
pistasolución 1info
Pista. La desigualdad de Chebyshev puede ser útil para transformar la desigualdad inicial.
Solución. Como la desigualdad es simétrica, podemos suponer que $x\geq y\geq z$ sin perder generalidad, de donde deducimos fácilmente que
\[x^3\leq y^3\leq z^3,\qquad \frac{1}{(1+y)(1+z)}\leq \frac{1}{(1+x)(1+z)}\leq \frac{1}{(1+x)(1+y)}.\]
De esta forma, podemos aplicar la desigualdad de Chebyshev, que nos asegura que
\begin{eqnarray}
\frac{x^3}{(1+y)(1+z)}+\frac{y^3}{(1+x)(1+z)}+\frac{z^3}{(1+x)(1+y)}&\geq&\frac{(x^3+y^3+z^3)\left(\frac{1}{(1+y)(1+z)}+\frac{1}{(1+x)(1+z)}+\frac{1}{(1+x)(1+y)}\right)}{3}\\
&=&\frac{(x^3+y^3+z^3)(3+x+y+z)}{3(1+x)(1+y)(1+z)}
\end{eqnarray}
Las desigualdades entre las medias aritmética y cúbica y entre las medias aritmética y geométrica nos permiten acotar
\begin{eqnarray}
x^3+y^3+z^3&\geq&\frac{1}{9}(x+y+z)^3,\\
3(1+x)(1+y)(1+z)&\leq&\frac{1}{9}(3+x+y+z)^3
\end{eqnarray}
Con estas dos desigualdades podemos transformar la desigualdad previa en
\[\frac{x^3}{(1+y)(1+z)}+\frac{y^3}{(1+x)(1+z)}+\frac{z^3}{(1+x)(1+y)}\geq\frac{(x+y+z)^3}{(3+x+y+z)^2}.\]
Ahora bien, la función $f(a)=\frac{a^3}{(3+a)^2}$ es estrictamente creciente para $a\geq 0$. Como $x+y+z\geq3\sqrt[3]{xyz}=3$, deducimos que $f(x+y+z)\geq f(3)=\frac{3}{4}$, de donde se deduce la desigualdad del enunciado.
Nota. Si la igualdad se alcanza, entonces del último razonamiento llegamos a que $x+y+z=3$, luego la igualdad en la desigualdad entre las medias nos asegura que $x=y=z=1$. Se comprueba que estos valores dan la igualdad y, por tanto, son los únicos.
Problema 285
Demostrar que si $x$, $y$ y $z$ son números reales positivos tales que $xyz=1$, entonces
\[(1+x)(1+y)(1+z)\geq 8.\]
pistasolución 1info
Pista. La desigualdad entre las medias aritmética y geométrica puede ayudar.
Solución. Basta darse cuenta de que, por la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica, se tiene que $1+x\geq2\sqrt x$, $1+y\geq2\sqrt y$ y $1+z\geq2\sqrt z$. Usando estas desigualdades, tenemos que
\[(1+x)(1+y)(1+z)\geq 8\sqrt{xyz}=8.\]
Nota. La desigualdad $1+x\geq2\sqrt x$ es equivalente a $(1-\sqrt{x})^2\geq 0$, luego igualdad se alcanza cuando $x=y=z=1$.
Dados tres números reales positivos $a$, $b$ y $c$ tales que $a+b+c=1$, demostrar que
\[\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ac}+\sqrt{c+ab}\leq 2{.}\]
pistasolución 1info
Pista. Aplica la desigualdad de Cauchy-Schwarz o la desigualdad entre las medias aritmética y cuadrática.
Solución. Aplicando la desigualdad entre las medias aritmética y cuadrática, obtenemos que
\[\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ac}+\sqrt{c+ab}\leq 3\sqrt{\frac{a+b+c+ab+bc+ac}{3}}{.}\]
Ahora bien, podemos usar que $a+b+c=1$ y que
\[ab+bc+ac=\frac{(a+b+c) ^2-(a^2+b^2+c^2)}{2}=\frac{1-(a^2+b^2+c^2)}{2}\]
para transformar la última expresión, obteniendo que
\[\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ac}+\sqrt{c+ab}\leq 3\sqrt{\frac{3-(a^2+b^2+c^2)}{6}}{.}\]
Usando de nuevo la desigualdad entre las medias aritmética y cuadrática deducimos que
\[a^2+b^2+c^2\geq 3\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2=\frac{1}{3}{,}\]
con lo que finalmente llegamos a que
\[\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ac}+\sqrt{c+ab}\leq 3\sqrt{\frac{3-\frac{1}{3}}{6}}=2.\]
Nota. De la desigualdad entre las medias aritmética y cuadrática deducimos que la igualdad se alcanza si, y sólo si, $a=b=c=\frac{1}{3}$.
Sean $a$, $b$ y $c$ números reales positivos. Demostrar que
\[a^ab^bc^c\geq(abc)^{(a+b+c)/3}{.}\]
pistasolución 1solución 2info
Pista. Toma logaritmos para eliminar los exponentes. Después hay varias posibilidades: una de ellas usando la desigualdad de Jensen y otra con la de reordenación.
Solución. Tomando logaritmos en la desigualdad del enunciado, ésta es equivalente a
\[\frac{a\ln(a)+b\ln(b)+c\ln(c)}{a+b+c}\geq\frac{\ln(a)+\ln(b)+\ln(c)}{3}{.}\]
Aplicando la desigualdad de Jensen a la función cóncava $f(x)=\ln(x)$ y a los números $x_1=a$, $x_2=b$ y $x_3=c$, con pesos $t_1=\frac{a}{a+b+c}$, $t_2=\frac{b}{a+b+c}$ y $t_3=\frac{c}{a+b+c}$, tenemos que
\begin{eqnarray*}
\frac{a\ln(a)+b\ln(b)+c\ln(c)}{a+b+c}&=&f(t_1x_1+t_2x_2+t_3x_3)\\
&\geq& t_1f(x_1)+t_2f(x_2)+t_3f(x_3)=\log\left(\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\right).
\end{eqnarray*}
Por otro lado, las desigualdades entre las medias aritmética y cuadrática y entre las medias cuadrática y geométrica nos dicen que
\[\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}\geq\frac{a+b+c}{3},\qquad \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}\geq\sqrt[3]{abc},\]
y multiplicando estas dos desigualdades llegamos fácilmente a que
\[\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\geq\sqrt[3]{abc}{.}\]
Usando esta desigualdad en el resultado que obtuvimos de la de Jensen, llegamos a que
\[\frac{a\ln(a)+b\ln(b)+c\ln(c)}{a+b+c}\geq\log(\sqrt[3]{abc})=\frac{\ln(a)+\ln(b)+\ln(c)}{3}{,}\]
que es la desigualdad buscada.
Nota. Otra forma de resolver este problema consiste en usar la desigualdad de Jensen sobre la función convexa $f(x)=x\ln(x)$.La igualdad se alcanza si, y sólo si, $a=b=c$, tal y como se deduce de la desigualdad de las medias o de la de Jensen.
Solución. Si suponemos que $a\leq b\leq c$, entonces $\ln(a)\leq\ln(b)\leq\ln(c)$ están ordenados en el mismo orden. Por lo tanto, tenemos que
\begin{eqnarray*}
a\ln(a)+b\ln(b)+c\ln(c)\geq b\ln(a)+c\ln(b)+a\ln(c),\\
a\ln(a)+b\ln(b)+c\ln(c)\geq c\ln(a)+a\ln(b)+b\ln(c),\\
a\ln(a)+b\ln(b)+c\ln(c) = a\ln(a)+b\ln(b)+c\ln(c).
\end{eqnarray*}
La primeras dos desigualdades se obtienen por la desigualdad de reordenación y la última es una igualdad trivial. Sumando las tres expresiones, llegamos a que
\[a\ln(a)+b\ln(b)+c\ln(c)\geq\frac{a+b+c}{3}(\ln(a)+\ln(b)+\ln(c)),\]
que es equivalente a la desigualdad propuesta, sin más que tomar logaritmos.
Consideremos cuatro números reales $x,y,p,q$ tales que $p,q\gt 0$ y $p+q\lt 1$. Demostrar que
\[(px+qy)^2\leq px^2+qy^2{.}\]
pistasolución 1solución 2info
Pista. Utiliza la desigualdad de Cauchy-Schwarz o la desigualdad de Jensen.
Solución. Apliquemos la desigualdad de Cauchy-Schwarz a los vectores $u=(\sqrt{p},\sqrt{q})$ y $v=(x\sqrt{p},y\sqrt{q})$. Obtenemos que
\[(px+qy)^2=(u\cdot v)^2\leq (u\cdot u)(v\cdot v)=(p+q)(px^2+qy^2).\]
Como $p+q\lt 1$, deducimos la desigualdad del enunciado.
Solución. Apliquemos la desigualdad de Jensen a la función convexa $f(t)=t^2$ sobre los valores $x$ e $y$, con pesos $\frac{p}{p+q}$ y $\frac{q}{p+q}$ (que suman 1), respectivamente. Tenemos entonces que
\[\left(\frac{px+qy}{p+q}\right)^2=f\left(\frac{p}{p+q}x+\frac{q}{p+q}y\right)\leq\frac{p}{p+q}f(x)+\frac{q}{p+q}f(y)=\frac{px^2+qy^2}{p+q}{.}\]
Multiplicando ambos miembros por $(p+q)^2$ y usando que $p+q\lt 1$, obtenemos la desigualdad del enunciado.
Nota. La desigualdad de Jensen con pesos aplicada a la función $f(t)=t^2$ también es equivalente a la desigualdad entre las medias aritmética y cuadrática con pesos.